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nul en même temps ; ce qui est en effet ; donc, etc : On peut s’assurer à posteriori que l’équation

$y={\frac {b^{3}-x^{3}}{3}}$

satisfait à la proposée : car on a

${\frac {dy}{dx}}=-x^{2}\quad {\text{et}}\quad {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-2x\,;$

ce qui étant substitué dans les termes

$\left(d^{2}y\right)^{2}+4xd^{2}ydx^{2}-4dydx^{3},$

tout se détruit de soi-même.

13. S’il arrivait que l’on eût en même temps

${\frac {dy}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}y}{dxda}}=0,\quad {\frac {d^{3}y}{dx^{2}da}}=0,\ldots ,$

ou bien

${\frac {dx}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}x}{dyda}}=0,\quad {\frac {d^{3}x}{dy^{2}da}}=0,\ldots ,$

et ainsi de suite à l’infini ; alors l’intégrale particulière satisferait nonseulement à l’équation différentielle du premier ordre, mais aussi à toutes les équations différentielles des ordres ultérieurs qui en seraient dérivées. Cette intégrale aurait donc les mêmes propriétés que l’intégrale complète ; et nous allons prouver qu’elle sera alors effectivement comprise dans celle-ci ; de sorte qu’elle cessera d’être une intégrale particulière, et devra être rangée dans la classe des intégrales incomplètes. En effet, puisqu’en regardant la quantité $y$ comme une fonction de $x$ et de $a$ donnée par l’équation $\mathrm {V} =0,$ on a

${\frac {dy}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}y}{dadx}}=0,\quad {\frac {d^{3}y}{dadx^{2}}}=0,\ldots ,$ à l’infini,

il est visible que la quantité ${\frac {dy}{da}}$ ne doit pas contenir $x,$ et ne peut être,