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$\mathrm {X,Y,Z}$ de la planète $\mathrm {T} ,$ lesquelles seront donc exprimées ainsi

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {X} =&\mathrm {T} '\left({\frac {x-x'}{\delta '^{3}}}+{\frac {x'}{r'^{3}}}\right)+&\mathrm {T} ''\left({\frac {x-x''}{\delta ''^{3}}}+{\frac {x''}{r''^{3}}}\right)+&\mathrm {T} '''\left({\frac {x-x'''}{\delta '''^{3}}}+{\frac {x'''}{r'''^{3}}}\right)+\ldots ,\\\mathrm {Y} =&\mathrm {T} '\left({\frac {y-y'}{\delta '^{3}}}+{\frac {y'}{r'^{3}}}\right)+&\mathrm {T} ''\left({\frac {y-y''}{\delta ''^{3}}}+{\frac {y''}{r''^{3}}}\right)+&\mathrm {T} '''\left({\frac {y-y'''}{\delta '''^{3}}}+{\frac {y'''}{r'''^{3}}}\right)+\ldots ,\\\mathrm {Z} =&\mathrm {T} '\left({\frac {z-z'}{\delta '^{3}}}+{\frac {z'}{r'^{3}}}\right)+&\mathrm {T} ''\left({\frac {z-z''}{\delta ''^{3}}}+{\frac {z''}{r''^{3}}}\right)+&\mathrm {T} '''\left({\frac {z-z'''}{\delta '''^{3}}}+{\frac {z'''}{r'''^{3}}}\right)+\ldots .\end{alignedat}}$

À l’égard des quantités $r',r'',\ldots$ et $\delta ',\delta '',\ldots ,$ il est clair qu’on aura

$r'={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}},\qquad \qquad \qquad r''={\sqrt {x''^{2}+y''^{2}+z''^{2}}},\ldots ,$

$\delta '={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}},$

$\delta ''={\sqrt {(x-x'')^{2}+(y-y'')^{2}+(z-z'')^{2}}},\ldots .$

9. Si l’on substitue maintenant ces valeurs de $\mathrm {X,Y,Z}$ dans la formule $\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz,$ il en résultera une différentielle intégrable par rapport aux variables $x,y,z,$ et dont l’intégrale sera

$\mathrm {T} '\left({\frac {xx'+yy'+zz'}{r'^{3}}}-{\frac {1}{\delta '}}\right)+\mathrm {T} ''\left({\frac {xx''+yy''+zz''}{r''^{3}}}-{\frac {1}{\delta ''}}\right)$

$+\mathrm {T} '''\left({\frac {xx'''+yy'''+zz'''}{r'''^{3}}}-{\frac {1}{\delta '''}}\right)+\ldots .$

Nommant donc cette quantité $\Omega ,$ et supposant que la caractéristique $\delta$ indique une différentiation relative uniquement aux quantités $x,y,z,$ c’est-à-dire aux quantités qui se rapportent à la planète $\mathrm {T} ,$ on aura

$\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz=\delta \Omega \,;$

par conséquent, les altérations du grand axe $2a$ de l’orbite elliptique de la planète $\mathrm {T} ,$ produites par l’action d’autant d’autres planètes $\mathrm {T',T'',T'''} ,\ldots$ qu’on voudra, seront déterminées par cette formule fort simple (7)

$d{\frac {1}{2a}}={\frac {\delta \Omega }{\mathrm {S+T} }}.$

10. Soient maintenant $\theta ,\theta ',\theta '',\ldots$ les moyens mouvements des planètes $\mathrm {T,T',T''} ,\ldots$ autour du Soleil durant le temps $t,$ on pourra, par les formules connues (à cause que les excentricités des planètes sont fort