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leurs valeurs en $x,y,z\,;$ pour cela j’observe que $r^{2}d\varphi ^{2}+dr^{2}$ n’est autre chose que le carré du petit espace que le corps parcourt à chaque instant, lequel carré exprimé par les coordonnées rectangles $x,y,z$ est, comme l’on sait, $dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\,;$ d’ailleurs on a

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,;$

donc on aura l’équation

${\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}-{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2\mathrm {F} dt^{2}}}={\frac {1}{2a}},$

laquelle étant comparée à l’équation $\mathrm {V} =k,$ du n^o 4, donnera

$\mathrm {V} ={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}-{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2\mathrm {F} dt^{2}}}\quad {\text{et}}\quad k={\frac {1}{2a}}.$

Faisant donc varier simplement les quantités ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}$ dans l’expression de $\mathrm {V} ,$ on aura

${\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {dx}{dt}}}}=-{\frac {dx}{\mathrm {F} dt}},\quad {\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {dy}{dt}}}}=-{\frac {dy}{\mathrm {F} dt}},\quad {\frac {d\mathrm {V} }{d{\cfrac {dz}{dt}}}}=-{\frac {dz}{\mathrm {F} dt}}\,;$

donc, substituant ces valeurs dans la formule du n^o 5, on aura

$d{\frac {1}{2a}}={\frac {\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz}{\mathrm {F} }}.$

8. Voilà donc, comme l’on voit, une formule fort simple pour déterminer les altérations du grand axe $2a$ de l’orbite elliptique d’un corps animé par une force centrale ${\frac {\mathrm {F} }{r^{2}}},$ et dérangé par des forces perturbatrices quelconques $\mathrm {X,Y,Z} .$

Pour appliquer cette formule à la solution de la question qui fait l’objet de ce Mémoire, il est clair qu’il faut commencer par déterminer les forces