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composée suivant les trois coordonnées $x,y,z,$ donnera ces trois-ci

${\frac {\mathrm {F} x}{r^{3}}},\quad {\frac {\mathrm {F} y}{r^{3}}},\quad {\frac {\mathrm {F} z}{r^{3}}}.$

Je suppose de plus que toutes les forces perturbatrices soient réduites à trois dirigées suivant les mêmes coordonnées, et je nomme $\mathrm {X,Y,Z}$ ces trois forces résultantes. On aura donc par les premiers principes de la Dynamique, en prenant l’élément du temps $dt$ pour constant, ces trois équations

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {F} x}{r^{3}}}+\mathrm {X} =&0,\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {F} y}{r^{3}}}+\mathrm {Y} =&0,\\{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {F} z}{r^{3}}}+\mathrm {Z} =&0,\end{aligned}}$

lesquelles serviront à déterminer le mouvement du corps en vertu des forces ${\frac {\mathrm {F} }{r^{2}}},\mathrm {X,Y,Z} .$

3. Supposons d’abord que les forces perturbatrices $\mathrm {X,Y,Z}$ soient nulles, on aura le cas du mouvement d’un corps attiré vers un centre fixe par une force ${\frac {\mathrm {F} }{r^{2}}}\,;$ et l’on pourra, par les formules connues, trouver les valeurs des trois coordonnées $x,y,z$ en $t\,;$ mais nous n’aurons pas même besoin de connaître ces valeurs : il nous suffit de remarquer

1^o Que ces valeurs doivent être les intégrales complètes et finies des trois équations différentio-différentielles

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {F} x}{r^{3}}}=0,\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {F} y}{r^{3}}}=0,\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {F} z}{r^{3}}}=0,$

et qu’elles doivent par conséquent renfermer six constantes arbitraires ;

2^o Que ces constantes seront précisément les six éléments de l’orbite elliptique dont nous avons parlé plus haut ;

3^o Que, si l’on différentie les trois intégrales dont il s’agit, on aura