ce qui ne peut pas être égal à zéro, en général. D’où il faut conclure que, quoique l’équation
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}-b^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05812b4aebbbb1a720c777d7b567f59751e70d89)
satisfasse à l’équation différentielle du premier ordre
![{\displaystyle xdx+ydy-dy{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb5b51168350401e3ead84b31595f75231c8ed25)
elle ne satisfera cependant pas à l’équation différentio-différentielle
![{\displaystyle xd^{2}y-dydx=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04654b10eb35cae3e135bc605e345f300f1778ed)
qui en est dérivée. En effet, on trouve
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-x}{\sqrt {b^{2}-x^{2}}}},\quad {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {-b^{2}}{\left(b^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf4ee5cfebf9128b1910a946755b06ff6d1a11eb)
ce qui, comme l’on voit, ne satisfait pas à l’équation dont il s’agit.
Prenons maintenant l’équation différentio-difféuentielle
![{\displaystyle \left(d^{2}y\right)^{2}+4xd^{2}ydx^{2}-4dydx^{3}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c110c5bc846944d9740c9a007ae1811ce4072057)
dont l’intégrale du premier ordre est
![{\displaystyle x^{2}dx+dy=\left(b^{3}-x^{3}-3y\right)^{\frac {2}{3}}dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81cdd2b7a11978f552147b6d0db3cf617c54075d)
laquelle a pour intégrale complète
![{\displaystyle y-a^{2}x+ax^{2}+{\frac {a^{3}-b^{3}}{3}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39bc21da6156fdaee5d3bf3a283c3e112fc64e6c)
On aura donc
![{\displaystyle {\frac {dy}{da}}=2ax-x^{2}-a^{2}=-(a-x)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a8affd9190ba1471dead5fe3ffcbcdc721187b)
ce qui, étant fait égal à zéro, donne
par conséquent
et
![{\displaystyle y+{\frac {a^{3}-b^{3}}{3}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb8d08deb76f9cf57c29ca556f0da874a2321791)
pour l’intégrale particulière. Pour que cette intégrale satisfasse donc aussi à l’équation différentio-différentielle, il faudra que
soit