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en supposant successivement $t=1,2,3,\ldots ,b+c-1$ dans les quantités $\,_{\prime }\!\mathrm {A',\,_{\prime }\!A'',\,_{\prime }\!A'''} ,\ldots .$

Or il est visible que l’équation (a) ci-dessus n’est autre chose que celle-ci $\,_{\prime }\!\mathrm {A} =0$ en y faisant $t=b+c\,;$ de plus, si l’on fait

$\alpha =2{\sqrt {pq}}\cos \theta ,$

il est clair que l’expression de $\,_{\prime }\!\mathrm {A}$ trouvée plus haut deviendra

$\,_{\prime }\!\mathrm {A} =\left({\sqrt {\frac {q}{p}}}\right)^{t}{\frac {\sin t\theta }{{\sqrt {pq}}\sin \theta }}\,;$

donc, faisant $t=b+c,$ l’équation dont il s’agit deviendra

${\frac {\sin(b+c)\theta }{\sin \theta }}=0,$

d’où l’on tire

$\theta ={\frac {\lambda \pi }{b+c}},$

$\pi$ étant l’angle de $180$ degrés et $\lambda ,$ un nombre quelconque de la suite $1,2,3,$$\ldots ,b+c-1.$ On connaîtra par là les $b+c-1$ racines $\alpha ',\alpha '',\alpha ''',\ldots ,$ ainsi que les quantités correspondantes $\,_{\prime }\!\mathrm {A',\,_{\prime }\!A'',\,_{\prime }\!A'''} ,\ldots \,;$ et l’on aura, en général,

$\alpha ^{(\lambda )}=2{\sqrt {pq}}\cos {\frac {\lambda \pi }{b+c}},\quad \,_{\prime }\!\mathrm {A} ^{(\lambda )}=\left({\sqrt {\frac {q}{p}}}\right)^{t}{\frac {\sin {\cfrac {\lambda t\pi }{b+c}}}{{\sqrt {pq}}\sin {\cfrac {\lambda \pi }{b+c}}}}.$

Substituant donc ces valeurs dans la formule (b) et faisant pour plus de simplicité

$b+c=n$

et

${\frac {\mathrm {M} }{{\sqrt {pq}}\sin {\cfrac {\pi }{n}}}}=(1),\quad {\frac {\mathrm {N} }{{\sqrt {pq}}\sin {\cfrac {2\pi }{n}}}}=(2),\ldots ,$