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Donc enfin, si pour plus de simplicité on met l’expression de $z_{x,t}$ sous la forme

$z_{x,t}=p^{x}\varphi (x+t)+xp^{x-1}q\varphi (x+t-2)+{\frac {x(x-1)}{2}}p^{x-2}q^{2}\varphi (x+t-4)+\ldots ,$

qu’ensuite on y fasse $x=a,$ $t=c,$ et qu’on remette $1-p$ à la place de $q,$ on trouvera, pour la valeur cherchée de $y_{a,c}=1-z_{a,c},$ c’est-à-dire pour le sort du joueur, la formule suivante

$1-p^{a}\varphi (a+c)-ap^{a-1}(1-p)\varphi (a+c-2)$

$-{\frac {a(a-1)}{2}}p^{a-2}(1-p)^{2}\varphi (a+c-4)-\ldots ,$

et l’on déterminera les valeurs de la fonction arbitraire par ces conditions

$\varphi (s)=1,\quad s\ \mathrm {{\acute {e}}tant} \quad 1,2,3,\ldots ,b+c-1,$

et

$\left.{\begin{aligned}p^{s}\varphi (s)+(1-p)^{s}\varphi (-s)&=0,\\p^{s}\varphi (b+c+s)+(1-p)^{s}\varphi (b+c-s)&=0,\end{aligned}}\right\}s$ étant $0,1,2,3,\ldots$ à l’infini.

Soit par exemple

$a=7,\quad b=2,\quad c=3,$

on aura la formule

$1-p^{7}\varphi (10)-7p^{6}(1-p)\varphi (8)+21p^{5}(1-p)^{2}\varphi (6)-35p^{4}(1-p)^{3}\varphi (4)$

$-35p^{3}(1-p)^{4}\varphi (2)-21p^{2}(1-p)^{5}\varphi (0)-7p(1-p)^{6}\varphi (-2)-(1-p)^{7}\varphi (-4)\,;$

or la condition

$\varphi (s)=1$

donne d’abord

$\varphi (2)=1,\quad \varphi (4)=1\,;$

ensuite la condition

$p^{s}\varphi (s)+(1-p)^{s}\varphi (-s)=0$

donnera

$\varphi (0)=0,\quad \varphi (-2)=-{\frac {p^{2}}{(1-p)^{2}}},\quad \varphi (-4)=-{\frac {p^{3}}{(1-p)^{4}}}\,;$