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ne saurait s’appliquer commodément au cas présent. On prendra donc d’abord la seconde solution, et l’on aura en changeant seulement $p$ en $q$ et $q$ en $p$ (59)

${\begin{aligned}y_{x,t}=&\left[q^{x}f(t-x)+p^{x}f(t+x)\right]\\&+xpq\left[q^{x-2}f(t+2-x)+p^{x-2}f(t-2+x)\right]\\&+{\frac {x(x-1)}{2}}p^{2}q^{2}\left[q^{x-4}f(t+4-x)+p^{x-4}f(t-4+x)\right]+\ldots ,\end{aligned}}$

cette formule ne devant être continuée que jusqu’aux termes qui auront pour coefficient

${\frac {x(x-1)\ldots \left({\cfrac {x+1}{2}}\right)}{1.2\ldots }}\quad {\text{ou}}\quad {\frac {x(x-1)\ldots \left({\cfrac {x}{2}}+1\right)}{1.2\ldots }},$

et ayant soin de ne prendre que la moitié de ce coefficient dans le cas de $x$ pair.

Il ne s’agira donc plus que de déterminer convenablement, d’après les conditions du Problème, les fonctions marquées par la caractéristique $f.$ Pour cet effet, je ferai d’abord $x=0,$ ce qui donnera $y_{0,t}=f(t)\,;$ donc, puisqu’on doit avoir $y_{0,t}=0$ tant que $t=1,2,\ldots ,b+c-1,$ il s’ensuit qu’on aura, en général, $f(s)=0,$ $s$ étant $=1,2,3,\ldots ,b+c-1.$

Ensuite nous ferons $t=0,$ auquel cas on doit avoir, comme dans le Problème V, $y_{x,0}=1,$ quel que soit $x\,;$ faisant donc successivement $x=0,1,2,\ldots ,$ j’aurai, en général, comme dans la solution du n^o 59, en changeant seulement $p$ en $q$ et vice versâ,

$q^{s}f(-s)+p^{s}f(s)=1-spq+{\frac {s(s-3)}{2}}p^{2}q^{2}-{\frac {s(s-4)(s-5)}{2.3}}p^{3}q^{3}+\ldots ,$

en ne prenant dans cette série que ${\frac {s+1}{2}}$ ou ${\frac {s}{2}}+1$ termes.

Enfin je ferai $t=b+c=n,$ et comme on doit avoir alors aussi $y_{x,t}=1,$ quel que soit $x,$ j’en tirerai de la même manière la formule générale

$q^{s}f(n-s)+p^{s}f(n+s)=$

$1-spq+{\frac {s(s-3)}{2}}p^{2}q^{2}-{\frac {s(s-4)(s-5)}{2.3}}p^{3}q^{3}+\ldots ,$