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dans laquelle il n’y aura plus qu’à supposer $\alpha =1$ pour avoir la valeur cherchée de $y_{x,t}.$

Or, puisque dans notre cas $q=1-p$ (58), il est clair que $\beta =1$ donne $\alpha =1$ dans l’équation

$\alpha ={\frac {p}{\beta }}+q\beta \,;$

donc aussi dans l’équation qui en est dérivée

${\frac {p^{s}}{\beta ^{s}}}+q^{s}\beta ^{s}=\mathrm {A} ^{(s)},$

en faisant $\beta =1,$ la quantité $\alpha$ contenue dans $\mathrm {A} ^{(s)}$ deviendra $=1\,;$ donc on aura, lorsque $\alpha =1,$

$\mathrm {A} ^{(s)}=p^{s}+q^{s}\,;$

donc, faisant cette substitution et remettant $x-t$ à la place de $u,$ on aura

$y_{x,t}=p^{t}{\biggl [}\left(p^{x-t}+q^{x-t}\right)+xpq\left(p^{x-t-2}+q^{x-t-2}\right){\biggr .}$

${\biggl .}+{\frac {x(x-1)}{2}}p^{2}q^{2}\left(p^{x-t-4}+q^{x-t-4}\right)+\ldots {\biggr ]}$

en ne continuant cette série que tant que l’exposant des quantités

$p^{x-t-\ldots }+q^{x-t-\ldots }$

sera positif ou zéro, et en ayant soin, dans ce dernier cas, de prendre $1$ à la place de $p^{0}+q^{0},$ parce que $\mathrm {A} ^{(s)}=1.$

Cette solution est la même que la première solution de Moivre (page 209).

Problème VI.

61. Supposant, comme dans le Problème précédent, que la probabilités d’amener un événement donné à chaque coup soit $p\,;$ un joueur parie qu’en $a$ coups ou moins il amènera cet événement un nombre de fois tel, que