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11. De là il s’ensuit que si $\mathrm {Z} '=0$ est une équation différentielle du second ordre dont l’intégrale aux premières différences soit l’équation différentielle $\mathrm {Z} =0,$ l’intégrale particulière de cette dernière, trouvée d’après la condition de

${\frac {dy}{da}}=0\quad {\text{ou}}\quad {\frac {dx}{da}}=0,$

ne satisfera pas, en général, à l’équation proposée $\mathrm {Z} '=0,$ à moins que l’on n’ait à la fois

${\frac {dy}{da}}=0\quad {\frac {d^{2}y}{dxda}}=0,\quad {\text{ou}}\quad {\frac {dx}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}x}{dyda}}=0.$

De même, si $\mathrm {Z} ''=0$ est une équation différentielles du troisième ordre, dont l’intégrale aux premières différences soit l’équation $\mathrm {Z} =0,$ l’intégrale particulière de cette dernière équation, déduite de la condition

${\frac {dy}{da}}=0\quad {\text{ou}}\quad {\frac {dx}{da}}=0,$

ne satisfera pas à la proposée $\mathrm {Z} ''=0,$ à moins que l’on n’ait à la fois

${\frac {dy}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}y}{dxda}}=0,\quad {\frac {d^{3}y}{dx^{2}da}}=0,$

ou bien

${\frac {dx}{da}}=0,\quad {\frac {d^{2}x}{dyda}}=0,\quad {\frac {d^{3}x}{dy^{2}da}}=0\,;$

et ainsi de suite.

Donc, en général, si dans la solution d’un Problème on a été conduit directement à une équation différentielle d’un ordre supérieur au premier, et qu’on ait déjà ramené cette équation au premier ordre à l’aide d’une ou de plusieurs intégrations, l’intégrale particulière de cette équation du premier ordre ne résoudra pas le Problème, à moins que toutes les conditions relatives à l’ordre de l’équation différentielle primitive ne se trouvent remplies.

Mais, si l’équation primitive du Problème n’est que du premier ordre,