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Donc substituant ces valeurs dans la formule

$y_{x,t}=\mathrm {V} f(x)+\mathrm {V} 'f(x-1)+\mathrm {V} ''f(x-2)+\ldots ,$

on aura

$y_{x,t}=q^{t}{\Biggl [}(1-p)^{x}-(-p)^{x}+(x+t)\left[(1-p)^{x-1}-(-p)^{x-1}\right]p{\Biggr .}$

$+{\frac {(x+t)(x+t-1)}{2}}\left[(1-p)^{x-2}-(-p)^{x-2}\right]p^{2}+\ldots$

${\Biggl .}+{\frac {(x+t)(x+t-1)\ldots (t+2)}{1.2\ldots (x-1)}}p^{x-1}{\Biggr ]}.$

On peut encore simplifier cette expression en remarquant que

${\begin{aligned}&(1-p)^{x}-(-p)^{x}=(1-p)^{x-1}-(1-p)^{x-2}p+(1-p)^{x-3}p^{2}-\ldots \pm p^{x-1},\\&(1-p)^{x-1}-(-p)^{x-1}=(1-p)^{x-2}-(1-p)^{x-3}p+\ldots \mp p^{x-2},\end{aligned}}$

et ainsi de suite ; de sorte qu’en substituant ces valeurs et ordonnant par rapport aux puissances de $1-p,$ on aura

$y_{x,t}=q^{t}{\biggl [}(1-p)^{x-1}+(x+t-1)(1-p)^{x-2}p{\biggr .}$

${\biggl .}+\left({\frac {(x+t)(x+t-1)}{2}}-{\frac {x+t}{1}}-1\right)(1-p)^{x-3}p^{2}+\ldots +p^{x-1}{\biggr ]},$

ou bien en réduisant

$y_{x,t}=q^{t}{\Biggl [}(1-p)^{x-1}+(x+t-1)(1-p)^{x-2}p{\Biggr .}$

$+{\frac {(x+t-1)(x+t-2)}{2}}(1-p)^{x-3}p^{2}+\ldots$

${\Biggl .}+{\frac {(x+t-1)(x+t-2)\ldots (t+1)}{1.2\ldots (x-1)}}p^{x-1}{\Biggr ]}.$

Cette expression de $y_{x,t}$ quoique sous une forme différente de celle que nous avons trouvée dans le numéro précédent, revient cependant dans le fond à celle-là, comme on peut s’en convaincre aisément en développant les puissances de $1-p,$ et ordonnant ensuite les termes suivant celles de $p\,;$ ce qui péut servir de confirmation de l’exactitude de nos méthodes.

Au reste, on voit que dans le Problème dont il s’agit la méthode de la première solution est préférable à celle dont nous venons de faire usage, non-seulement parce que le procédé en est plus aisé, mais surtout parce que le résultat en est beaucoup plus simple.