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dont il s’agit $s$ fois de plus qu’il n’avait besoin ; auquel cas, par les conditions du jeu, il est censé avoir déjà gagné ; par conséquent son sort doit alors être toujours égal à l’unité.

Donc, en général, pour avoir la valeur de tous les termes $y_{r,s,0}$ qui peuvent entrer dans l’expression ci-dessus de $y_{x,t,u},$ on remarquera : 1^o que ces termes sont tous nuls pour toutes les valeurs négatives de $r\,;$ 2^o que ces termes sont tous égaux à l’unité pour toutes les valeurs négatives ou nulles de $s,r$ étant zéro ou positif ; 3^o que $r$ et $s$ étant positifs ou zéro, on aura par le Problème précédent

$y_{r,s}=p^{s}\left[1+s(1-p)+{\frac {s(s+1)}{2}}(1-p)^{2}+\ldots \right.$

$\left.+{\frac {s(s+1)\ldots (r-1)}{1.2\ldots (r-s)}}(1-p)^{r-s}\right].$

Ainsi le Problème est résolu.

On voit par là comment il faudrait s’y prendre si le nombre des événements était quelconque ; il n’y aura de difficulté que dans la longueur du calcul.

Problème III.

52. Les mêmes choses étant supposées que dans le Problème II, on demande le sort d’un joueur qui parierait d’amener, dans un nombre de coups indéterminé, le second des deux événements $b$ fois avant que le premier fût arrivé $a$ fois.

Je désigne par $y_{x,t}$ le sort du joueur lorsqu’il doit encore amener le second événement $t$ fois avant que le premier arrive $x$ fois ; il est clair que $y_{a,b}$ sera le sort cherché.

Imaginons maintenant qu’on joue un coup, et comme la probabilité du premier événement est $p$ et celle du second est $q$ à chaque coup par l’hypothèse, on formera aisément l’équation

$y_{x,t}=py_{x-1,t}+qy_{x,t-1},$

et l’on remarquera que le joueur gagne lorsque $t=0$ et $x$ positif quel-