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42. Cela posé, soit l’équation du troisième ordre

(L)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {A} y_{x,t,u}&+\mathrm {B} \ \ y_{x+1,t,u}+\mathrm {C} \ \ y_{x+1,t+1,u}+\mathrm {D} y_{x+1,t+1,u+1}\\&+\mathrm {B} '\ y_{x,t+1,u}+\mathrm {C} '\ y_{x+1,t,u+1}\\&+\mathrm {B} ''y_{x,t,u+1}+\mathrm {C} ''y_{x,t+1,u+1}\end{aligned}}\right\}$

laquelle est, comme l’on voit, d’une forme semblable à celle de l’équation (F) du n^o 7.

Pour intégrer cette équation je suppose

$y_{x,t,u}=a\alpha ^{x}\beta ^{t}\gamma ^{u},$

$a,\alpha ,\beta ,\gamma$ étant des constantes ; substituant cette valeur et divisant ensuite toute l’équation par $a\alpha ^{x}\beta ^{t}\gamma ^{u},$ j’ai celle-ci

(M)

$\mathrm {A+B\alpha +B'\beta +B''\gamma +C\alpha \beta +C'\alpha \gamma +C''\beta \gamma +D} \alpha \beta \gamma =0,$

d’où je tire la valeur de $\gamma$ en $\alpha$ et $\beta ,$ savoir

$\gamma =-\mathrm {\frac {A+B\alpha +B'\beta +C\alpha \beta }{B''+C'\alpha +C''\beta +D\alpha \beta }} ,$

ou bien, en divisant le haut et le bas de cette fraction par $\alpha \beta ,$

$\gamma =-\mathrm {\frac {C+{\cfrac {B'}{\alpha }}+{\cfrac {B}{\beta }}+{\cfrac {A}{\alpha \beta }}}{D+{\cfrac {C''}{\alpha }}+{\cfrac {C'}{\beta }}+{\cfrac {B''}{\alpha \beta }}}} .$

J’élève maintenant cette quantité à la puissance $u,$ et développant les termes suivant les différentes puissances de ${\frac {1}{\alpha }}$ et de ${\frac {1}{\beta }},$ j’aurai

${\begin{aligned}\gamma ^{u}&=\ \,\mathrm {V} +\mathrm {V} '{\frac {1}{\alpha }}+\mathrm {V} ''{\frac {1}{\alpha ^{2}}}+\mathrm {V} '''{\frac {1}{\alpha ^{3}}}+\ldots \\&+\ \,_{\prime }\!\mathrm {V} {\frac {1}{\beta }}\ \,+\ _{\prime }\!\mathrm {V} '{\frac {1}{\alpha \beta }}\ \ +\,_{\prime }\!\mathrm {V} ''{\frac {1}{\alpha ^{2}\beta }}+\ldots \\&+\ _{\prime \prime }\!\mathrm {V} {\frac {1}{\beta ^{2}}}+\,_{\prime \prime }\!\mathrm {V} '{\frac {1}{\alpha \beta ^{2}}}+\ldots \\&+\,_{\prime \prime \prime }\!\mathrm {V} {\frac {1}{\beta ^{3}}}+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$