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mais, par l’hypothèse, $a\alpha ^{x}\beta ^{t}$ est la valeur particulière de $y'_{x,t}\,;$ donc passant des valeurs particulières aux expressions générales, on aura aussi, en général,

${\begin{aligned}y_{x,t}&=\mathrm {P} y'_{x+m,t+n}+\mathrm {P} 'y'_{x+m',t+n'}+\ldots ,\\z_{x,t}&=\mathrm {Q} y'_{x+p,t+q}\ +\mathrm {Q} 'y'_{x+p',t+q'}\ +\ldots ,\\u_{x,t}&=\mathrm {R} y'_{x+r,t+s}\ \,+\mathrm {R} 'y'_{x+r',t+s'}\ +\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

et il n’y aura plus qu’à substituer à la place de $y'_{x,t}$ son expression générale trouvée précédemment.

Article IV. — Des suites récurrentes triples, ou de l’intégration des équation linéaires aux différences finies et partielles entre quatre variables.

41. Si l’on imagine une suite dont les termes varient de trois manières différentes, et qu’on suppose qu’il y ait toujours entre un certain nombre de termes successifs de cette suite une même équation linéaire, dont les coefficients soient constants, ce sera là une suite récurrente triple ; et l’équation dont il s’agit sera une équation linéaire aux différences finies et partielles entre quatre variables, dont l’intégration fera l’objet de cet Article.

À l’imitation de ce que nous avons pratiqué à l’égard des suites récurrentes doubles, nous désignerons un terme quelconque d’une suite récurrente triple par $y_{x,t,u},$ en sorte qu’en faisant successivement

$x=0,1,2,3,\ldots ,\quad t=0,12,3,\ldots ,\quad u=0,1,2,3,\ldots ,$

on aura tous les termes qui pourront entrer dans cette suite ; d’où l’on voit que ces termes pourront former une Table à triple entrée en forme de parallélépipède, de même que les termes $y_{x,t}$ des suites récurrentes doubles forment une Table à double entrée en forme de rectangle (6).