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d’équations en $\alpha ,\beta$ et en $a,b,c,\ldots$ qu’il y a de ces dernières quantités, et où ces quantités seront toutes linéaires ; de sorte que si l’on élimine les quantités ${\frac {b}{a}},{\frac {c}{a}},\ldots ,$ on parviendra à une équation finale en $\alpha$ et $\beta$ qui contiendra la relation qu’il doit y avoir entre ces deux indéterminées, et qui sera la même qu’on eût trouvée par la substitution de $a\alpha ^{x}\beta ^{t}$ à la place de $y_{x,t}$ dans l’équation en $y_{x,t}$ résultante de l’élimination des autres inconnues $z_{x,t},u_{x,t},\ldots .$ On pourra donc trouver d’après cette équation et par le moyen des méthodes exposées jusqu’ici, l’expression générale de $y_{x,t}\,;$ nous dénoterons cette expression par $y'_{x,t}.$ Maintenant comme les équations en $a,b,c,\ldots$ sont purement linéaires, on pourra trouver les valeurs de ${\frac {b}{a}},{\frac {c}{a}},\ldots$ par des fonctions rationnelles cle $\alpha$ et $\beta \,;$ soient donc

${\frac {b}{a}}=\mathrm {\frac {B}{A}} ,\quad {\frac {c}{a}}=\mathrm {\frac {C}{A}} ,\ldots ,$

$\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ étant des fonctions rationnelles entières de $\alpha$ et $\beta \,;$ comme $a$ est une constante qui demeure arbitraire, on pourra mettre partout $a\mathrm {A}$ à la place de $a\,;$ par ce moyen les quantités $a\alpha ^{x}\beta ^{t},\ b\alpha ^{x}\beta ^{t},\ c\alpha ^{x}\beta ^{t},\ldots ,$ qui sont les valeurs particulières de $y_{x,t},\ z_{x,t},\ u_{x,t},\ldots ,$ deviendront $a\mathrm {A} \alpha ^{x}\beta ^{t},\ a\mathrm {B} \alpha ^{x}\beta ^{t},$$a\mathrm {C} \alpha ^{x}\beta ^{t},\ldots .$ Or les quantités $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ sont nécessairement de cette forme

${\begin{aligned}&\mathrm {A} =\mathrm {P} \alpha ^{m}\beta ^{n}+\mathrm {P} '\alpha ^{m'}\beta ^{n'}+\ldots ,\\&\mathrm {B} =\mathrm {Q} \alpha ^{p}\ \beta ^{q}\,+\mathrm {Q} '\alpha ^{p'}\,\beta ^{q'}+\ldots ,\\&\mathrm {C} =\mathrm {R} \alpha ^{r}\ \beta ^{s}\ +\mathrm {R} '\alpha ^{r'}\ \beta ^{s'}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

$\mathrm {P,Q,R,P'} ,\ldots ,m,n,m',\ldots$ étant des constantes données ; donc les valeurs particulières dont il s’agit deviendront de la forme

${\begin{aligned}&\mathrm {P} a\alpha ^{x+m}\beta ^{t+n}+\mathrm {P} 'a\alpha ^{x+m'}\beta ^{t+n'}+\ldots ,\\&\mathrm {Q} a\alpha ^{x+p}\ \beta ^{t+q}\,+\mathrm {Q} 'a\alpha ^{x+p'}\,\beta ^{t+q'}+\ldots ,\\&\mathrm {R} a\alpha ^{x+r}\ \beta ^{t+s}\ +\mathrm {R} 'a\alpha ^{x+r'}\ \beta ^{t+s'}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$