Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/206

$y'_{x,t},\ldots ,$ de $y''_{x,0},\ y''_{x,1},\ldots ,\ y''_{0,t},\ y''_{1,t},\ldots \,;$ ensuite on déterminera ces dernières par celles de $y_{x,0},\ y_{x,1},\ldots ,\ y_{0,t},\ y_{1,t},\ldots$ d’après les formules

$y_{x,t}=y'_{x,t}+xy''_{x-1,t}+\ldots$

données ci-dessus, combinées avec l’équation différentielle qui répond à l’équation $\Pi =0,$ et qui est la même pour toutes les quantités $y'_{x,t},y''_{x,t},\ldots ,$ puisqu’elles ne diffèrent entre elles que par les fonctions arbitraires.

Remarque IV.

38. La quatrième Remarque roulera sur quelques transformation qu’on peut employer pour faciliter l’intégration des équations aux différences finies et partielles. Si dans l’équation en $\alpha$ et $\beta$ résultante de la substitution de $\alpha ^{x}\beta ^{t}$ à la place de $y_{x,t}$ dans l’équation différentielle proposée, on fait

${\begin{aligned}\alpha =&a\varepsilon ^{m}\gamma ^{n}+a'\varepsilon ^{m'}\gamma ^{n'}+a''\varepsilon ^{m''}\gamma ^{n''}+\ldots ,\\\beta =&b\varepsilon ^{p}\ \gamma ^{q}\ +b'\varepsilon ^{p'}\ \gamma ^{q'}\ +b''\varepsilon ^{p''}\ \gamma ^{q''}\,+\ldots ,\end{aligned}}$

$a,a',a'',\ldots ,b,b',b'',\ldots ,m,m',m'',\ldots n,n',n'',\ldots ,p,p',p'',\ldots ,q,q',$$q'',\ldots$ étant des constantes quelconques données, et $\varepsilon ,\ \gamma$ deux nouvelles indéterminées, on aura une transformée en $\varepsilon ,\ \gamma$ qui pourra dans plusieurs cas être plus simple et plus traitable que l’équation primitive en $\alpha ,\ \beta .$

Or je dis que si l’on regarde cette équation en $\varepsilon ,\ \gamma$ comme résultante immédiatement d’une équation à différences finies et partielles entre les trois variables $x,t$ et $z_{x,t},$ par la substitution de $\varepsilon ^{x}\gamma ^{t}$ à la place de $z_{x,t},$ et qu’on en déduise par les méthodes ci-dessus l’expression générale de $z_{x,t},$ il sera facile d’en conclure l’expression générale de $y_{x,t}$ de la manière suivante. On substituera pour cela les mêmes valeurs de $\alpha$ et $\beta$ dans la quantité $\alpha ^{x}\beta ^{t},$ et développant les termes on aura une expression de cette forme

$\alpha ^{x}\beta ^{t}=\mathrm {A} \varepsilon ^{mx+pt}\gamma ^{nx+qt}+\mathrm {B} \varepsilon ^{mx+pt+\mu }\gamma ^{nx+qt+\nu }+\mathrm {C} \varepsilon ^{mx+pt+\omega }\gamma ^{nx+qt+\rho }+\ldots .$