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en considérant à part chacune de ces équations et cherchant l’expression de $y_{x,t}$ qui résulte de chacune d’elles ; car la somme de ces différentes expressions de $y_{x,t}$ sera l’expression complète de $y_{x,t}$ qui convient à l’équation différentielle proposée. En effet, supposons que l’équation (I) du degré $n$ puisse se décomposer en deux équations rationnelles des degrés $p$ et $q,$ en sorte que $p+q=n\,;$ il est facile de prouver que, si l’on fait

$y_{x,t}=y'_{x,t}+y''_{x,t},$

l’équation différentielle en $y_{x,t}$ de l’ordre $n$ pourra aussi se décomposer en deux équations, l’une en $y'_{x,t}$ de l’ordre $p,$ l’autre en $y''_{x,t}$ de l’ordre $q\,;$ et ces deux équations seront telles que, si l’on met dans la première $\alpha ^{x}\beta ^{t}$ à la place de $y'_{x,t}$ et dans la seconde $\alpha ^{x}\beta ^{t}$ à la place de $y''_{x,t},$ il en résultera les deux équations des degrés $p$ et $q$ qui sont les facteurs de l’équation (I) résultante de la substitution de $\alpha ^{x}\beta ^{t}$ à la place de $y_{x,t}$ dans l’équation différentielle proposée. Et cette conclusion aura lieu pour tous les facteurs de la même équation (I).

À l’égard des fonctions arbitraires, il est clair que l’expression de $y'_{x,t}$ en contiendra un nombre $p,$ et que l’expression de $y''_{x,t}$ en contiendra un nombre $q\,;$ de sorte que l’expression de $y_{x,t}$ en contiendra un nombre égal à $p+q,$ c’est-à-dire égal à $n\,;$ par conséquent cette expression sera complète.

Pour déterminer maintenant ces fonctions d’après les valeurs données de $y_{x,0},y_{x,1},\ldots ,y_{0,t},y_{1,t},\ldots$ (33), on supposera d’abord que les quantités données soient

$y'_{x,0},\ y'_{x,1},\ldots ,\ y'_{0,t},\ y'_{1,t},\ldots \quad {\text{ainsi que}}\quad y''_{x,0},\ y''_{x,1},\ldots ,\ y''_{0,t},\ y''_{1,t},\ldots \,;$

on déterminera, à l’aide des premières, les fonctions arbitraires de l’expression de $y'_{x,t},$ et, à l’aide des secondes, les fonctions arbitraires de l’expression de $y''_{x,t}$ par la méthode générale du numéro cité ; ensuite il n’y aura plus qu’à substituer à la place de ces quantités leurs valeurs en $y_{x,0},\ y_{x,1},\ldots ,\ y_{0,t},\ y_{1,t},\ldots .$