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premier rang vertical soient donnés, en sorte qu’on connaisse toutes les valeurs de $y_{x,0}$ et de $y_{0,t}.$ On supposera donc d’abord $t=0$ et $x$ successivement $0,1,2,3,\ldots \,;$ ensuite $x=0$ et $t$ successivement $0,1,2,3,\ldots \,;$ on aura par ce moyen les équations nécessaires pour déterminer les valeurs de $f(0),f(1),f(-1),\ldots .$ Mais comme en s’y prenant ainsi l’on tombe dans des formules assez compliquées, je vais donner une autre manière de parvenir plus aisément au but.

21. Pour cela je remarque d’abord que comme

$p\omega +{\frac {q}{\omega }}=\varepsilon ,\quad r\omega +{\frac {s}{\omega }}=\theta ,$

on aura, par les formules connues,

$p\omega +{\frac {q}{\omega }}=\varepsilon ,\quad p^{2}\omega ^{2}+{\frac {q^{2}}{\omega ^{2}}}=\varepsilon ^{2}-2pq,\quad p^{3}\omega ^{3}+{\frac {q^{3}}{\omega ^{3}}}=\varepsilon ^{3}-3pq\varepsilon ,\ldots ,$

et, en général,

$p^{\lambda }\omega ^{\lambda }+{\frac {q^{\lambda }}{\omega ^{\lambda }}}=$

$\varepsilon ^{\lambda }-\lambda pq\varepsilon ^{\lambda -2}+{\frac {\lambda (\lambda -3)}{2}}p^{2}q^{2}\varepsilon ^{\lambda -4}-{\frac {\lambda (\lambda -4)(\lambda -5)}{2.3}}p^{3}q^{3}\varepsilon ^{\lambda -6}+\ldots ,$

et de même l’on aura

$r^{\lambda }\omega ^{\lambda }+{\frac {s^{\lambda }}{\omega ^{\lambda }}}=$

$\theta ^{\lambda }-\lambda rs\theta ^{\lambda -2}+{\frac {\lambda (\lambda -3)}{2}}r^{2}s^{2}\theta ^{\lambda -4}-{\frac {\lambda (\lambda -4)(\lambda -5)}{2.3}}r^{3}s^{3}\theta ^{\lambda -6}+\ldots ,$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\omega ^{\lambda }=&{\frac {\left(s^{\lambda }\varepsilon ^{\lambda }-q^{\lambda }\theta ^{\lambda }\right)-\lambda \left(pqs^{\lambda }\varepsilon ^{\lambda -2}-rsq^{\lambda }\theta ^{\lambda -2}\right)+\ldots }{p^{\lambda }s^{\lambda }-q^{\lambda }r^{\lambda }}},\\{\frac {1}{\omega ^{\lambda }}}=&{\frac {\left(r^{\lambda }\varepsilon ^{\lambda }-p^{\lambda }\theta ^{\lambda }\right)-\lambda \left(pqr^{\lambda }\varepsilon ^{\lambda -2}-rsp^{\lambda }\theta ^{\lambda -2}\right)+\ldots }{q^{\lambda }r^{\lambda }-p^{\lambda }s^{\lambda }}}.\end{aligned}}$

Si l’on substitue ces valeurs dans la série

$\mathrm {V+V'\omega +{\frac {{\grave {\,}}V}{\omega }}+V''\omega ^{2}+{\frac {{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}V}{\omega ^{2}}}} +\ldots ,$