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12. Mais, si ni $\mathrm {C} '$ ni $\mathrm {B} '$ n’est égal à zéro, alors il est impossible d’avoir, en général, une expression finie pour $y_{x,t}$ par la méthode du n^o 7 ; cependant on y peut parvenir par une autre méthode que nous allons exposer.

Je reprends l’expression de $\beta$ en $\alpha$ (7), laquelle es

$\beta =-\mathrm {\frac {A+B\alpha }{B'+C'\alpha }} \,;$

je fais

$\mathrm {B'+C'} \alpha =-\omega ,$

d’où je tire

$\alpha =-\mathrm {\frac {\omega +B'}{C'}} ,$

et substituant dans la valeur de $\beta ,$ il me vient

$\beta =-\mathrm {{\frac {B}{C'}}+\left(A-{\frac {BB'}{C'}}\right)} {\frac {1}{\omega }}.$

J’aurai donc ainsi

$\alpha =\mathrm {-{\frac {\omega }{C'}}\left(1+{\frac {B'}{\omega }}\right),\quad \beta =-{\frac {B}{C'}}\left[1+\left(B'-{\frac {AC'}{B}}\right){\frac {1}{\omega }}\right]} .$

Ces valeurs étant substituées dans la quantité $\alpha ^{x}\beta ^{t},$ réduisant ensuite cette quantité en série suivant les puissances de ${\frac {1}{\omega }},$ on aura une expression de la forme

$\alpha ^{x}\beta ^{t}=\mathrm {V\alpha ^{x}+V'\alpha ^{x-1}+V''\alpha ^{x-2}+V'''\alpha ^{x-3}} +\ldots ,$

laquelle sera toujours composée d’un nombre fini de termes, $x$ et $t$ étant des nombres entiers positifs.

Or, puisque $\omega$ est une constante indéterminée, il est facile de prouver, par un raisonnement semblable à celui qu’on a fait dans le n^o 7 relativement à l’indéterminée $\alpha ,$ que l’on aura, en général,

$y_{x,t}=\mathrm {V} f(x)+\mathrm {V} 'f(x-1)+\mathrm {V} ''f(x-2)+\mathrm {V} '''f(x-3)+\ldots ,$

la caractéristique $f$ dénotant une fonction quelconque.