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donc faisant ces substitutions on aura, en général,

$y_{x,t}=\mathrm {T} f(x+\mu t)+\mathrm {T} 'f(x+\mu t-1)+\mathrm {T} ''f(x+\mu t-2)+\ldots .$

8. La détermination de la forme de la fonction $f(x+\mu t)$ dépend des valeurs de $y_{x,t}$ lorsque $t=0\,;$ en effet, si l’on fait $t=0,$ on a

$\mathrm {T=1,\quad T'=0,\quad T''} =0,\ldots \,;$

donc

$y_{x,0}=f(x).$

D’où il s’ensuit que l’on aura, en général,

$y_{x,0}=\mathrm {T} y_{x+\mu t,0}+\mathrm {T} 'y_{x+\mu t-1,0}+\mathrm {T} ''y_{x+\mu t-2,0}+\ldots ,$

où l’on voit que les quantités $y_{x+\mu t,0},y_{x+\mu t-1,0},\ldots$ sont contenues parmi les termes qui forment le premier rang horizontal de la Table du n^o 6, pourvu qu’on suppose que la série de ce rang soit aussi continuée à gauche de cette manière

$\ldots ,\quad y_{-(x+1),0},\quad y_{-x,0},\quad \ldots ,\quad y_{-3,0},\quad y_{-2,0},\quad y_{-1,0},\quad y_{0,0}.$

Si donc on regarde tous ces termes comme donnés, on aura par la formule précédente la valeur d’un terme quelconque $y_{x,t}$ de la Table dont il s’agit, dans le cas où elle est supposée formée par une loi telle, que l’on ait constamment, entre quatre termes contigus ou disposés en carré, une équation de la forme (F) du n^o 7.

9. Si l’on suppose que tous les termes du premier rang horizontal, qui précèdent $y_{0,0},$ c’est-à-dire les termes de ce rang continué en arrière soient nuls, ce qui peut avoir lieu dans un grand nombre de Problèmes, alors l’expression de $y_{x,t}$ sera toujours composée d’un nombre fini de termes, parce qu’il faudra en rejeter tous ceux où se trouvera $y_{s,0},$ $s$ étant un nombre négatif quelconque. On aura donc dans ce cas

$y_{x,t}=\mathrm {T} y_{x+\mu t,0}+\mathrm {T} 'y_{x+\mu t-1,0}+\mathrm {T} ''y_{x+\mu t-2,0}+\ldots +\mathrm {T} ^{(x+\mu t)}y_{0,0}.$