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aillent en diminuant, et si l’on suppose, en général,

$\left(-\mathrm {\frac {A+B\alpha }{B'+C'\alpha }} \right)^{t}=\mathrm {T} \alpha ^{\mu t}+\mathrm {T} '\alpha ^{\mu t-1}+\mathrm {T} ''\alpha ^{\mu t-2}+\mathrm {T} '''\alpha ^{\mu t-3}+\ldots ,$

on aura

$y_{x,t}=\mathrm {T} a\alpha ^{x+\mu t}+\mathrm {T} 'a\alpha ^{x+\mu t-1}+\mathrm {T} ''a\alpha ^{x+\mu t-2}+\ldots .$

Or, comme $a$ et $\alpha$ sont arbitraires, on aura une infinité de valeurs différentes de $y_{x,t},$ et il s’ensuit de ce que l’équation différentielle (F) est linéaire, qu’on pourra également prendre pour $y_{x,t},$ la somme d’autant de ces différentes valeurs qu’on voudra.

Donc, si l’on prend un nombre quelconquede constantes différentes $a,b,c,\ldots ,\alpha ,{\text{ϐ}},\gamma ,\ldots ,$ on aura, en général,

${\begin{aligned}y_{x,t}=&\mathrm {T} \left(a\alpha ^{x+\mu t}+b{\text{ϐ}}^{x+\mu t}+c\gamma ^{x+\mu t}+\ldots \right)\\&+\mathrm {T} '\ \ \left(a\alpha ^{x+\mu t-1}+b{\text{ϐ}}^{x+\mu t-1}+c\gamma ^{x+\mu t-1}+\ldots \right)\\&+\mathrm {T} ''\ \left(a\alpha ^{x+\mu t-2}+b{\text{ϐ}}^{x+\mu t-2}+c\gamma ^{x+\mu t-2}+\ldots \right)\\&+\mathrm {T} '''\left(a\alpha ^{x+\mu t-3}+b{\text{ϐ}}^{x+\mu t-3}+c\gamma ^{x+\mu t-3}+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Je remarque maintenant qu’à cause du nombre indéfini des constantes arbitraires $a,b,c,\ldots ,\alpha ,{\text{ϐ}},\gamma ,\ldots ,$ la quantité

$a\alpha ^{x+\mu t}+b{\text{ϐ}}^{x+\mu t}+c\gamma ^{x+\mu t}+\ldots$

doit pouvoir représenter une fonction quelconque de $x+\mu t$ que je désignerai par la caractéristique $f$ ainsi, $f(x+\mu t)\,;$ et alors il est visible que les quantités semblables

$a\alpha ^{x+\mu t-1}+b{\text{ϐ}}^{x+\mu t-1}+c\gamma ^{x+\mu t-1}+\ldots ,$

$a\alpha ^{x+\mu t-2}+b{\text{ϐ}}^{x+\mu t-2}+c\gamma ^{x+\mu t-2}+\ldots ,\ldots$

deviendront

$f(x+\mu t-1),\quad f(x+\mu t-2),\ldots \,;$