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naisse déjà l’intégrale complète $\mathrm {M} =0,$ dans le cas de $\Pi =0,$ en employant la méthode précédente, et tirant des $n$ équations différentielles en $a,b,c,\ldots$ et $x,$ les valeurs de $da,db,dc,\ldots ,$ on aura des équations de cette forme

$da=\mathrm {A} \Pi dx,\quad db=\mathrm {B} \Pi dx,\quad dc=\mathrm {C} \Pi dx,\ldots ,$

$\mathrm {A,B,C} ,$ étant des fonctions finies de $x,a,b,c,\ldots ,$ et $\Pi$ étant aussi une fonction des mêmes quantités, mais très-petite par l’hypothèse ; d’où l’on voit que les valeurs de ${\frac {da}{dx}},{\frac {db}{dx}},{\frac {dc}{dx}},\ldots$ sont aussi très-petites du même ordre ; ainsi, en regardant d’abord les quantités $a,b,c,\ldots$ comme constantes, on pourra par les méthodes connues approcher de plus en plus des vraies valeurs de ces quantités.

Il n’est pas à craindre que les fonctions $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ deviennent infinies car cette supposition renferme les conditions nécessaires pour que l’intégrale complète $\mathrm {M} =0$ de l’équation

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\mathrm {P} =0$

en devienne une intégrale particulière ; sur quoi on peut voir mon Mémoire sur les intégrales particulières des équations différentielles^[1].

Il est visible au reste que cette méthode, que je ne fais qu’exposer ici en passant, peut s’appliquer également au cas où l’on aurait plusieurs équations différentielles entre plusieurs variables dont on connaîtrait les intégrales complètes approchées, c’est-à-dire en y négligeant des quantités supposées très-petites. Elle sera par conséquent fort utile pour c\delta lculer les mouvements des planètes en tant qu’ils sont altérés par leur action mutuelle, puisqu’en faisant abstraction de cette action la solution complète du Problème est connue ; et il est bon de remarquer que, comme dans ce cas les constantes $a,b,c,\ldots$ représentent ce qu’on nomme les éléments des planètes, notre méthode donnera immédiatement les variations de ces éléments provenantes de l’action que les pla-

1. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 5.