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fère de ce qu’elle serait dans cette hypothèse que par les termes

$\alpha _{x+n}\Delta a_{x}+\beta _{x+n}\Delta b_{x}+\gamma _{x+n}\Delta c_{x}+\ldots$

qui y sont ajoutés ; que d’ailleurs les valeurs de $y_{x},y_{x+1},\ldots ,$ dans le cas de $\alpha _{x},\beta _{x},\gamma _{x},\ldots$ constantes, satisfont par l’hypothèse à l’équation (C), quelles que soient les valeurs de ces constantes ; il s’ensuit que le premier membre de l’équation (D) se réduira à

$\mathrm {N} _{x}\left(\alpha _{x+n}\Delta a_{x}+\beta _{x+n}\Delta b_{x}+\gamma _{x+n}\Delta c_{x}+\ldots \right),$

en sorte qu’on aura l’équation

$(n)\qquad \qquad \alpha _{x+n}\Delta a_{x}+\beta _{x+n}\Delta b_{x}+\gamma _{x+n}\Delta c_{x}+\ldots ={\frac {\mathrm {X} _{x}}{\mathrm {N} _{x}}}.$

On a donc ainsi $n$ équations linéaires (1), (2), (3), …, (n-1), (n) entre les $n$ quantités $\Delta a_{x},\ \Delta b_{x},\ \Delta c_{x},\ldots ,$ d’où l’on tirera les valeurs de ces quantités en fonctions de $x,$ que je désignerai par $\mathrm {P} _{x},\mathrm {Q} _{x},\mathrm {R} _{x},\ldots .$ Donc, passant des différences aux sommes et désignant celles-ci par la caractéristique $\sum$ on aura

$a_{x}=\sum \mathrm {P} _{x},\quad b_{x}=\sum \mathrm {Q} _{x},\quad c_{x}=\sum \mathrm {R} _{x},\ldots ,$

ce qui étant substitué dans la formule (E), il viendra

$y_{x}=\alpha _{x}\sum \mathrm {P} _{x}+\beta _{x}\sum \mathrm {Q} _{x}+\gamma _{x}\sum \mathrm {R} _{x},\ldots$

pour l’intégrale complète de l’équation (D).

il s’ensuit de là que l’équation

$\mathrm {A} _{x}y_{x}+\mathrm {B} _{x}y_{x+1}+\mathrm {C} _{x}y_{x+2}+\ldots +\mathrm {N} _{x}y_{x+n}=\mathrm {X} _{x}$

est géneratement intégrable toutes les fois que l’on connait n valeurs particulières de $y_{x}$ dans le cas de $\mathrm {X} _{x}=0\,;$ Théorème analogue à celui que j’ai donné pour les équations différentielles linéaires dans le tome III des