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j’aurai

$y_{x+1}=a_{x}\alpha _{x+1}+b_{x}\beta _{x+1}+c_{x}\gamma _{x+1}+\ldots ,$

comme si les quantités $a_{x},b_{x},c_{x},\ldots$ n’avaient point varié.

Faisant varier de nouveau $x,$ j’aurai donc

${\begin{aligned}y_{x+2}=&a_{x+1}\alpha _{x+2}+b_{x+1}\beta _{x+2}+c_{x+1}\gamma _{x+2}+\ldots \\=&a_{x}\alpha _{x+2}+b_{x}\beta _{x+2}+c_{x}\gamma _{x+2}+\ldots \\&+\alpha _{x+2}\Delta a_{x}+\beta _{x+2}\Delta b_{x}+\gamma _{x+2}\Delta c_{x}+\ldots ,\end{aligned}}$

et, faisant pareillement

(2)

$\alpha _{x+2}\Delta a_{x}+\beta _{x+2}\Delta b_{x}+\gamma _{x+2}\Delta c_{x}+\ldots =0,$

j’aurai

$y_{x+2}=a_{x}\alpha _{x+2}+b_{x}\beta _{x+2}+c_{x}\gamma _{x+2}+\ldots .$

De même, en faisant varier $x$ et supposant

(3)

$\alpha _{x+3}\Delta a_{x}+\beta _{x+3}\Delta b_{x}+\gamma _{x+3}\Delta c_{x}+\ldots =0,$

on aura

$y_{x+3}=a_{x}\alpha _{x+3}+b_{x}\beta _{x+3}+c_{x}\gamma _{x+3}+\ldots .$

Je continue ainsi à faire varier $x$ et à supposer nulle la partie de $y$ dépendante des variations de $a_{x},b_{x},c_{x},\ldots$ jusqu’aux équations suivantes inclusivement

${\begin{array}{ll}(n-1)\qquad &\alpha _{x+n-1}\Delta a_{x}+\beta _{x+n-1}\Delta b_{x}+\gamma _{x+n-1}\Delta c_{x}+\ldots =0,\\&y_{x+n-1}=a_{x}\alpha _{x+n-1}+b_{x}\beta _{x+n-1}+c_{x}\gamma _{x+n-1}+\ldots \,;\end{array}}$

et, faisant encore varier $x$ dans cette dernière équation, j’aurai

${\begin{aligned}y_{x+n}=&a_{x}\alpha _{x+n}+b_{x}\beta _{x+n}+c_{x}\gamma _{x+n}+\ldots \\&+\alpha _{x+n}\Delta a_{x}+\beta _{x+n}\Delta b_{x}+\gamma _{x+n}\Delta c_{x}+\ldots .\end{aligned}}$

Qu’on substitue maintenant ces valeurs de $y_{x},y_{x+1},\ldots ,y_{x+n}$ dans l’équation (D) ; et comme toutes ces valeurs, excepté la dernière, sont les mêmes que si $a_{x},b_{x},c_{x},\ldots$ n’avaient pas varié, et que la dernière ne dif-