Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/156

Dans le cas de $n=1,$ on a

$a=y_{0}\,;$

dans le cas de $n=2,$ on aura

$a={\frac {y_{1}-\beta y_{0}}{\alpha -\beta }},\quad b={\frac {y_{1}-\alpha y_{0}}{\beta -\alpha }}\,;$

dans le cas de $n=3,$ on aura

$a={\frac {y_{2}-(\beta +\gamma )y_{1}+\beta \gamma y_{0}}{(\alpha -\beta )(\alpha -\gamma )}},\quad b={\frac {y_{2}-(\alpha +\gamma )y_{1}+\alpha \gamma y_{0}}{(\beta -\alpha )(\beta -\gamma )}},$

$c={\frac {y_{2}-(\alpha +\beta )y_{1}+\alpha \beta y_{0}}{(\gamma -\alpha )(\gamma -\beta )}}\,;$

et ainsi de suite.

De là et de la théorie connue des équations il est facile de conclure que si l’on fait, pour abréger,

${\begin{aligned}&\mathrm {A} +\mathrm {B} \alpha +\mathrm {C} \alpha ^{2}+\mathrm {D} \alpha ^{3}+\ldots +\mathrm {N} \alpha ^{n}=\mathrm {P} ,\\&\mathrm {B} +\mathrm {C} \alpha +\mathrm {D} \alpha ^{2}+\ldots =\mathrm {Q} ,\\&\mathrm {C} +\mathrm {D} \alpha +\ldots =\mathrm {R} ,\\&\mathrm {D} +\ldots =\mathrm {S} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

on aura, en général,

$a={\frac {\mathrm {Q} y_{0}+\mathrm {R} y_{1}+\mathrm {S} y_{2}+\ldots }{\cfrac {d\mathrm {P} }{d\alpha }}},$

et changeant dans cette expression de $a$ la quantité $\alpha$ en $\beta ,\gamma ,\ldots$ on aura les valeurs des autres coefficients $b,c,\ldots .$

S’il arrive que deux ou plusieurs racines soient égales, il n’y aura qu’à supposer leurs différences infiniment petites, et l’on trouvera, dans le cas de $\beta =\alpha ,$ que les deux termes

$a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}$

de l’expression de $y_{x}$ deviendront de cette forme

$a'\alpha ^{x}+b'x\alpha ^{x-1},$