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Pour cela je suppose

$y_{x}=a\alpha ^{x},$

$a$ et $\alpha$ étant des constantes indéterminées ; j’aurai donc

$y_{x+1}=a\alpha ^{x+1},\quad y_{x+2}=a\alpha ^{x+2},\ldots ,$

et les substitutions étant faites dans l’équation (A), elle deviendra divisible par $a\alpha ^{x}\,;$ et l’on aura après cette division

(B)

$\mathrm {A} +\mathrm {B} \alpha +\mathrm {C} \alpha ^{2}+\ldots +\mathrm {N} \alpha ^{n}=0.$

On voit par cette équation : 1^o que, puisque le coefficient $a$ ne s’y trouve pas, ce coefficient demeure arbitraire ; 2^o que l’équation étant par rapport à du degré $n,$ elle fournira, en général, $n$ valeurs différentes de $\alpha ,$ que je dénoterai par $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots .$ On aura donc ainsi, en prenant aussi différents coefficients $a,b,c,\ldots ,n$ valeurs différentes de $y_{x},$ savoir $a\alpha ^{x},b\beta ^{x},c\gamma ^{x},\ldots \,;$ et, comme l’équation (A) est linéaire, il est facile de voir que la somme de ces différentes valeurs de $y_{x}$ y satisfera aussi. De sorte qu’on aura, en général,

$y_{x}=a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}+c\gamma ^{x}+\ldots \,;$

et comme cette valeur de $y_{x}$ contient $n$ constantes arbitraires $a,b,c,\ldots ,$ elle sera l’intégrale complète de l’équation (A) du $n$^ième ordre.

2. Si l’on suppose que les $n$ premiers termes de la suite proposée soient donnés, on pourra par leur moyen déterminer les $n$ constantes arbitraires $a,b,c,\ldots \,;$ il n’y aura pour cela qu’à résoudre les $n$ équations

${\begin{aligned}&y_{0}=a+b+c+\ldots ,\\&y_{1}=a\alpha +b\beta +c\gamma +\ldots ,\\&y_{2}=a\alpha ^{2}+b\beta ^{2}+c\gamma ^{2}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&y_{n+1}=a\alpha ^{n-1}+b\beta ^{n-1}+c\gamma ^{n-1}+\ldots .\end{aligned}}$