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intégrale particulière de l’équation différentielle proposée, et la seule qui ait lieu.

Soit ensuite l’équation différentielle

$ydx-xdy=b{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}},$

dont l’intégrale complète est.

$y-ax-b{\sqrt {1+a^{2}}}=0.$

En faisant varier $y$ et $a,$ on en tire

${\frac {dy}{da}}=x+{\frac {ba}{\sqrt {1+a^{2}}}}\,;$

donc

$x+{\frac {ba}{\sqrt {1+a^{2}}}}=0,\quad {\text{ou bien}}\quad x=-{\frac {ba}{\sqrt {1+a^{2}}}}\,;$

et combinant cette équation avec la précédente, on aura

$y={\frac {b}{\sqrt {1+a^{2}}}}\,;$

donc

$x^{2}+y^{2}=b^{2},$

intégrale particulière de la proposée. Si l’on faisait varier $x$ et $a,$ on aurait

${\frac {dx}{da}}=-{\frac {x}{a}}-{\frac {b}{\sqrt {1+a^{2}}}}\,;$

de sorte que l’équation ${\frac {dx}{da}}=0$ donnera le même resultat que l’équation ${\frac {dy}{da}}=0\,;$ et qu’ainsi il n’y aura d’autre intégrale particulière possible que celle qu’on a trouvée.

Soit de plus l’équation différentielle

$ydx-xdy+bdy={\sqrt {c^{2}\left(dx^{2}+dy^{2}\right)-b^{2}dx^{2}}},$