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on aura une équation identique ; de sorte qu’on sera assuré que la condition dont il s’agit a réellement lieu dans le cas des planètes.

31. Il y a au reste une circonstance qui peut servir à faciliter la solution du Problème précédent lorsqu’on veut l’appliquer aux orbites planétaires c’est la petitesse des angles d’inclinaison de ces orbites les unes à l’égard des autres ; d’où il s’ensuit que les angles $\mathrm {CAB,DBC,ACB}$ (fig. 4, page 130) seront très-petits ; et qu’ainsi en supposant

$x=2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}},\quad y=2\sin ^{2}{\frac {\beta }{2}},\quad z=2\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}},$

on aura

$\cos \alpha =1-x,\quad \cos \beta =1-y,\quad \cos \gamma =1-z,$

où les quantités $x,y,z$ pourront être regardées et traitées comme des quantités très-petites ; on aura donc (23), en négligeant les produits de trois dimensions vis-à-vis de ceux de deux, on aura, dis-je,

$u={\sqrt {2(xy+xz+yz)-x^{2}-y^{2}-z^{2}}},$

et ensuite

$-{\frac {dx}{dt}}=au,\quad -{\frac {dy}{dt}}=bu,\quad -{\frac {dz}{dt}}=cu.$

La première équation étant carrée et ensuite différentiée donne

$udu=(y+z-x)dx+(x+z-y)dy+(x+y-z)dz,$

et substituant les valeurs précédentes de $dx,dy,dz$ on aura, après avoir divisé par $u,$

${\frac {du}{dt}}=a(x-y-z)-b(y-x-z)+c(z-x-y)\,;$

différentiant de nouveau et substituant encore les valeurs de $dx,dy,dz,$ en supposant $dt$ constant, on aura enfin cette équation en $u$ et $t$

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc-2ac\right)u=0,$

dont l’intégration est comme l’on sait très-facile.