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possible de les combiner de manière qu’il en résulte une équation différentielle intégrable, pourvu qu’il y ait une certaine relation entre les coefficients $\mathrm {(P,Q),(P,R),(R,Q)} ,\ldots .$

En effet, si l’on suppose que ces coefficients soient tels, que l’on ait

$\mathrm {(P,Q)(Q,R)(R,P)=(Q,P)(P,R)(R,Q)} ,$

et qu’on ajoute ensemble les trois équations différentielles dont nous venons de parler, après avoir multiplié la première par $\mathrm {(Q,P)(R,P)} ,$ la seconde par $\mathrm {(Q,P)(P,R)} ,$ et la troisième par $\mathrm {(R,P)(P,Q)} ,$ on verra que les radicaux disparaîtront d’eux-mêmes, et qu’il ne restera que l’équation

${\frac {\mathrm {(Q,P)(R,P)} d\cos \varepsilon +\mathrm {(Q,P)(P,R)} d\cos \zeta +\mathrm {(R,P)(P,Q)} d\cos \eta }{dt}}=0,$

dont l’intégrale est évidemment

$\mathrm {(Q,P)(R,P)\cos \varepsilon +(Q,P)(P,R)\cos \zeta +(R,P)(P,Q)} \cos \eta =\Pi ,$

$\Pi$ étant une constante arbitraire dépendante de la situation initiale des orbites.

Combinant donc cette équation avec celle du numéro précédent, on pourra déterminer, par exemple, les inconnues $\cos \zeta$ et $\cos \eta$ en $\cos \varepsilon ,$ et substituant ensuite ces valeurs dans la première des trois dernières équations du n^o 26, on aura une équation unique entre les deux variables $t$ et $\cos \varepsilon ,$ de l’intégration de laquelle dépendra la solution du Problème.

30. Mais comme cette solution n’est que particulière, étant assujettie à la condition trouvée ci-dessus, il faut examiner si elle peut avoir lieu lorsqu’il s’agit du mouvement des nœuds des orbites planétaires.

Pour cela nous remarquerons, d’après les solutions connues du Problème des trois corps, que si deux planètes $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ décrivent autour du Soleil $\mathrm {S}$ des orbites à peu près circulaires et fort peu inclinées entre elles, nommant $p,q$ les distances de ces planètes au Soleil, et supposant que l’on ait développé la quantité

$\left(p^{2}-2pq\cos \varphi +q^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}$