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27. Comme dans les équations que nous venons de trouver les variables sont fort compliquées entre elles, il serait difficile et peut-être impossible d’intégrer ces équations d’une manière directe ; mais nous remarquerons qu’on peut d’abord trouver une intégrale par les considérations suivantes :

1^o Dans le triangle $\mathrm {LMA}$ (fig. 5, page 133), dont les trois angles $\mathrm {L,M,A}$ sont $\varepsilon ,\ 180^{\circ }-\zeta ,\ \alpha ,$ on aura

$\cos \mathrm {LM} ={\frac {\cos \alpha -\cos \varepsilon \cos \zeta }{\sin \varepsilon \sin \zeta }}\,;$

2^o Dans le triangle $\mathrm {LNB} ,$ dont les trois angles $\mathrm {L,N,B}$ sont $\varepsilon ,$ $180^{\circ }-\eta ,$ $180^{\circ }-\beta ,$ on aura

$\cos \mathrm {LN} =-{\frac {\cos \beta +\cos \varepsilon \cos \eta }{\sin \varepsilon \sin \eta }}\,;$

3^o Dans le triangle $\mathrm {MNC} ,$ dont les trois angles $\mathrm {M,N,C}$ sont $\zeta ,$ $180^{\circ }-\eta ,$ $\gamma ,$ on aura

$\cos \mathrm {MN} =-{\frac {\cos \gamma -\cos \zeta \cos \eta }{\sin \zeta \sin \eta }}.$

Or il est visible que

$\mathrm {LN=LM+MN} \,;$

et par conséquent

$\mathrm {\cos LN=\cos(LM+MN)=\cos LM\cos MN-\sin LM\sin MN} \,;$

donc transposant et carrant les termes, on aura

$\mathrm {\left(1-\cos ^{2}LM\right)\left(1-\cos ^{2}MN\right)=(\cos LN\cos LM\cos MN)^{2}} ,$

ce qui se réduit à

$\mathrm {1-\cos ^{2}LM-\cos ^{2}MN-\cos ^{2}LN+2\cos LM\cos MN\cos LN=0} .$

Substituant donc dans cette équation les valeurs précédentes et multi-