27. Comme dans les équations que nous venons de trouver les variables sont fort compliquées entre elles, il serait difficile et peut-être impossible d’intégrer ces équations d’une manière directe ; mais nous remarquerons qu’on peut d’abord trouver une intégrale par les considérations suivantes :
1o Dans le triangle
(fig. 5, page 133), dont les trois angles
sont
on aura
![{\displaystyle \cos \mathrm {LM} ={\frac {\cos \alpha -\cos \varepsilon \cos \zeta }{\sin \varepsilon \sin \zeta }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bebfd00e0903c01e65a0c28d369cd0c761358c6)
2o Dans le triangle
dont les trois angles
sont
on aura
![{\displaystyle \cos \mathrm {LN} =-{\frac {\cos \beta +\cos \varepsilon \cos \eta }{\sin \varepsilon \sin \eta }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4641e59513eb6f63dbf5313339c045899980b09d)
3o Dans le triangle
dont les trois angles
sont
on aura
![{\displaystyle \cos \mathrm {MN} =-{\frac {\cos \gamma -\cos \zeta \cos \eta }{\sin \zeta \sin \eta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26fe7885f748c75cd6118a277fc1a42b8a3b1b58)
Or il est visible que
![{\displaystyle \mathrm {LN=LM+MN} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99514d8b9ed43ac6ce762d5035a134dac4d84ac3)
et par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {\cos LN=\cos(LM+MN)=\cos LM\cos MN-\sin LM\sin MN} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0b2634ebd7f32bfa7b0773376d77a87cbfca13f)
donc transposant et carrant les termes, on aura
![{\displaystyle \mathrm {\left(1-\cos ^{2}LM\right)\left(1-\cos ^{2}MN\right)=(\cos LN\cos LM\cos MN)^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f12e5243de213404826d7d978cb4222197ee1b)
ce qui se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {1-\cos ^{2}LM-\cos ^{2}MN-\cos ^{2}LN+2\cos LM\cos MN\cos LN=0} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d34c02909820814086f34cdf8db8f0a14990f5f6)
Substituant donc dans cette équation les valeurs précédentes et multi-