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$\mathrm {CLD} ,$ et les angles $\mathrm {LAB=\xi ,\ LBR} =\psi$ deviendront $\mathrm {LCD=\xi '} ,$$\mathrm {BDT} =\psi ',$ l’angle $\mathrm {L} =\omega$ demeurant le même pour les deux triangles.

astronomie : arcs variables

De là il est facile de conclure que, si l’on nomme $\Xi '$ et $\Psi '$ les valeurs des angles $\xi '$ et $\psi '$ lorsque $t=0,$ il n’y aura qu’à changer, dans les expressions de $\cos \xi$ et $\cos \psi ,$ $\Xi$ et $\Psi$ en $\Xi '$ et $\Psi '$ pour avoir celles de $\cos \xi '$ et $\cos \psi '.$ Donc si l’on fait (15)

$\cos \mathrm {N} =\mathrm {\frac {\sin P\cos \Xi '+\sin Q\cos \Psi '}{\sin \omega }} ,\ \ \cos \beta =\mathrm {\frac {\cos P\cos \Xi '-\cos Q\cos \Psi '}{\sin \omega \sin N}} ,$

on aura sur-le-champ (14)

${\begin{aligned}\cos \xi '\ =&\mathrm {\cos N\cos Q+\sin N\sin Q} \cos(nt+\beta ),\\\cos \psi '=&\mathrm {\cos N\cos P\,-\sin N\sin P\,} \cos(nt+\beta ).\end{aligned}}$

Connaissant maintenant dans les triangles $\mathrm {COA,DOB}$ rectangles en $\mathrm {O}$ les angles $\mathrm {A,C}$ et $\mathrm {B,D} ,$ on trouverales arcs $\mathrm {OA} =x$ et $\mathrm {OB} =y$ par les formules connues ; ainsi l’on aura

$\cos x=-{\frac {\cos \xi '}{\sin \xi }},\quad \cos y=-{\frac {\cos \psi '}{\sin \psi }},$

ou bien

$\operatorname {tang} x=-{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\xi -\cos ^{2}\xi '}}{\cos \xi '}},\quad \operatorname {tang} y=-{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\psi -\cos ^{2}\psi '}}{\cos \psi '}},$

où il n’y aura plus qu’à substituer les valeurs de $cos\xi ,\cos \psi ,cos\xi ',\cos \psi '.$