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ou bien

${\begin{aligned}\operatorname {tang} (x-\mathrm {X} )=&{\frac {\sin \mathrm {Q} \sin(nt+\alpha )}{\mathrm {\sin M\cos Q-\cos M\sin Q} \cos(nt+\alpha )}},\\\operatorname {tang} (y-\mathrm {Y} )=&{\frac {-\sin \mathrm {P} \sin(nt+\alpha )}{\mathrm {\sin M\cos P+\cos M\sin P} \cos(nt+\alpha )}}\,;\end{aligned}}$

enfin on aura (12 et 13)

${\begin{aligned}\operatorname {tang} s=&{\frac {\sin \mathrm {M} \sin(nt+\alpha )}{\mathrm {\cos M\sin Q-\sin M\cos Q} \cos(nt+\alpha )}},\\\operatorname {tang} z=&{\frac {-\sin \mathrm {M} \sin(nt+\alpha )}{\mathrm {\cos M\sin P+\sin M\cos P} \cos(nt+\alpha )}}.\end{aligned}}$

15. À l’égard des constantes $\mu$ et $\alpha ,$ on a (7)

$\mu =p\cos \Xi +q\cos \Psi ,$

mais

$p={\frac {n\sin \mathrm {P} }{\sin \omega }},\quad q={\frac {n\sin \mathrm {Q} }{\sin \omega }}\,;$

donc

$\mu ={\frac {n(\sin \mathrm {P} \cos \Xi +\sin \mathrm {Q} \cos \Psi )}{\sin \omega }}\,;$

donc

$\cos \mathrm {M} ={\frac {\sin \mathrm {P} \cos \Xi +\sin \mathrm {Q} \cos \Psi }{\sin \omega }}\,;$

ensuite on trouvera

$\cos \alpha ={\frac {\cos \mathrm {P} \cos \Xi -\cos \mathrm {Q} \cos \Psi }{\sin \omega \sin \mathrm {M} }},$

où $\Xi$ et $\Psi$ sont les valeurs de $\xi$ et $\psi$ lorsque $t=0$.

Et il est bon de remarquer, touchant les angles $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ qu’on aura après les réductions

$\operatorname {tang} (\mathrm {P+Q} )=\operatorname {tang} \omega ,$

et par conséquent

$\mathrm {P+Q} =\omega .$

Pour ce qui concerne les constantes $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} ,$ comme elles se rapportent