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on aura

$\operatorname {tang} (x-\mathrm {X} )={\frac {2nmq\sin \omega \operatorname {tang} {\cfrac {nt+\alpha }{2}}}{n^{2}\left[(p+q\cos \omega )^{2}-\mu ^{2}\right]+m^{2}\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {nt+\alpha }{2}}}}.$

11. On trouvera de la même manière la valeur de $y$ par l’intégration de la dernière équation du n^o 3, et il suffira même pour cela de changer dans l’expression précédente $p$ en $q,$ $\mu$ en $-\mu$ et $x$ en $-y\,;$ de cette manière, si l’on nomme $\mathrm {Y}$ la valeur de $y$ lorsque $nt+\alpha =0$ et qu’on suppose

$m'=\mu p\sin \omega -(q+p\cos \omega ){\sqrt {n^{2}-\mu ^{2}}},$

on aura

$\operatorname {tang} (y-\mathrm {Y} )={\frac {2nm'p\sin \omega \operatorname {tang} {\cfrac {nt+\alpha }{2}}}{n^{2}\left[(q+p\cos \omega )^{2}-\mu ^{2}\right]+m'^{2}\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {nt+\alpha }{2}}}}.$

12. Il ne reste plus qu’à déterminer les arcs $s$ et $z\,;$ or on a trouvé danslen^o 5

$\cos s={\frac {(p+q\cos \omega )\cos \xi -\mu }{q\sin \omega \sin \xi }},$

et de là

$\sin s={\frac {\sqrt {a+2b\cos \xi -n^{2}\cos ^{2}\xi }}{q\sin \omega \sin \xi }}\,;$

donc

$\operatorname {tang} s={\frac {\sqrt {a+2b\cos \xi -n^{2}\cos ^{2}\xi }}{(p+q\cos \omega )\cos \xi -\mu }}.$

Mais on a aussi trouvé dans le même endroit

${\sqrt {a+2b\cos \xi -n^{2}\cos ^{2}\xi }}=-{\frac {\sin \xi dx}{dt}}={\frac {d\cos \xi }{dt}}\,;$

donc

$\operatorname {tang} s={\frac {d\cos \xi }{dt\left[(p+q\cos \omega )\cos \xi -\mu \right]}}.$

Substituons ici la valeur de $\cos \xi$ du n^o 5, on aura après les réductions

$\operatorname {tang} s={\frac {n{\sqrt {n^{2}-\mu ^{2}}}\sin(nt+\alpha )}{\mu q\sin \omega -{\sqrt {n^{2}-\mu ^{2}}}(p+q\cos \omega )\cos(nt+\alpha )}}.$