prise de manière qu’elle soit nulle lorsque 
est
comme il est facile de s’en assurer par la différentiation ; or faisant
on trouve après les réductions
d’où il est facile de conclure que l’intégrale de l’équation précédente, prise en sorte que 
soit 
lorsque 
sera
![{\displaystyle {\begin{aligned}x-\mathrm {X} =&\operatorname {arc\,tang} \left[{\frac {n^{2}-\mu (p+q\cos \omega )+q\sin \omega {\sqrt {n^{2}-\mu ^{2}}}}{n(p+q\cos \omega -\mu )}}\operatorname {tang} {\frac {nt+\alpha }{2}}\right]\\-&\operatorname {arc\,tang} \left[{\frac {n^{2}+\mu (p+q\cos \omega )-q\sin \omega {\sqrt {n^{2}-\mu ^{2}}}}{n(p+q\cos \omega +\mu )}}\operatorname {tang} {\frac {nt+\alpha }{2}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38814a793b42d6aad1889feac0b5c673db7e0f9e)
10. Or on sait que la différence de deux arcs a pour tangente la différence des tangentes divisée par la somme de l’unité et du produit des deux tangentes ; ainsi la tangente de 
sera égale à la quantité
![{\displaystyle {\frac {2n\left[\mu n^{2}-(p+q\cos \omega )\left[\mu (p+q\cos \omega )-q\sin \omega {\sqrt {n^{2}-\mu ^{2}}}\right]\right]\operatorname {tang} {\cfrac {nt+\alpha }{2}}}{\begin{aligned}&n^{2}\left[(p+q\cos \omega )^{2}-\mu ^{2}\right]\\&\quad \qquad \qquad +\left[n^{4}-\left[\mu (p+q\cos \omega )-q\sin \omega {\sqrt {n^{2}-\mu ^{2}}}\right]^{2}\right]\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {nt+\alpha }{2}}\end{aligned}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ee46d70eb1ea452728a7437556ab35d7be67b5a)
le numérateur de cette quantité se réduit à
![{\displaystyle 2nq\sin \omega \left[\mu q\sin \omega +(p+q\cos \omega ){\sqrt {n^{2}-\mu ^{2}}}\right]\operatorname {tang} {\frac {nt+\alpha }{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc717ef0cc04fbffd5e858977eb3041966812f3)
et le dénominateur se réduit à
![{\displaystyle n^{2}\left[(p+q\cos \omega )^{2}-\mu ^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066b738550510eea6b48221e06a9db601d8c2eb5)
![{\displaystyle +\left[\mu q\sin \omega +(p+q\cos \omega ){\sqrt {n^{2}-\mu ^{2}}}\right]\operatorname {tang} ^{2}{\frac {nt+\alpha }{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3609d208c8965c97872baffa306cb0619445e6db)
de sorte qu’en faisant, pour abréger,
