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de plus les équations ci-dessus donnent

${\begin{aligned}\cos \xi -\cos \omega \cos \psi =&\sin \omega \sin \psi \cos z,\\\cos \psi -\cos \omega \cos \xi =&-\sin \omega \sin \xi \cos s\,;\end{aligned}}$

donc, substituant ces valeurs, on aura

$dy=-{\frac {\cos zd\psi }{\sin \xi \sin s}},\quad dx=-{\frac {\cos sd\xi }{\sin \psi \sin z}}.$

Et, si l’on met pour $d\xi$ et $d\psi$ leurs valeurs tirées des équations précédentes, on aura

$dy=-{\frac {\sin \omega \cos z}{\sin \psi }}pdt,\quad dx=-{\frac {\sin \omega \cos s}{\sin \xi }}qdt.$

Ainsi la solution du Problème ne dépend plus que de l’intégration de ces quatre équations

${\frac {d\cos \xi }{dt}}=q\sin \omega \sin \psi \sin z,\quad {\frac {d\cos \psi }{dt}}=-p\sin \omega \sin \xi \sin s,$

${\frac {dx}{dt}}={\frac {q\sin \omega \cos s}{\sin \xi }},\quad {\frac {dy}{dt}}=-{\frac {p\sin \omega \cos z}{\sin \psi }},$

où l’on remarquera que $\omega$ est une quantité constante, et que $z$ et $s$ sont données en $\xi ,\psi$ et $\omega .$

4. Si l’on ajoute ensemble la première multipliée par $p$ et la seconde multipliée par $q,$ on aura, à cause de $\sin \psi \sin z=\sin \xi \sin s,$

${\frac {pd\cos \xi +qd\cos \psi }{dt}}=0,$

dont l’intégrale est, comme l’on voit,

$p\cos \xi +q\cos \psi =\mu ,$

$\mu$ étant une constante dépendante de la position initiale des plans $\mathrm {AP,BQ}$ par rapport au plan fixe $\mathrm {OAB} .$