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L’équation $\mathrm {V} =0,$ étant différentiée, donne celle-ci

$dy=pdx,\quad {\text{ou bien}}\quad {\frac {dy}{dx}}=p,$

où $p$ est une fonction finie de $x,y$ et $a\,;$ puis donc que ces deux équations

$\mathrm {V} =0\quad {\text{et}}\quad {\frac {dy}{dx}}-p=0$

ont lieu en même temps, on peut en éliminer la quantité $a,$ et l’on aura une équation entre $x,y$ et ${\frac {dy}{dx}}$ où $a$ n’entrera plus, et qui aura donc lieu en même temps que l’équation finie $\mathrm {V} =0\,;$ ce sera donc nécessairement l’équation $\mathrm {Z} =0.$

D’où l’on peut conclure que, si $\mathrm {V} =0$ est l’intégrale complète d’une équation différentielle du premier ordre $\mathrm {Z} =0,$ celle-ci ne peut être autre chose que le résultat de l’élimination de la constante arbitraire $a,$ à l’aide des deux équations $\mathrm {V} =0$ et $dy=pdx.$

Ainsi, l’équation finie

$x^{2}-2ay-a^{2}-b^{2}=0$

donne par la différentiation

${\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{a}}\,;$

éliminant $a,$ on aura

${\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{-y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}}}\,;$

ce qui se réduit à

$xdx+ydy=dy{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}\,;$

par conséquent, l’équation ci-dessus sera l’intégrale complète de cette équation différentielle, $a$ étant la constante arbitraire (1).

3. Maintenant, puisque l’équation différentielle $\mathrm {Z} =0$ résulte des deux équations $\mathrm {V} =0$ et ${\frac {dy}{dx}}=p,$ en éliminant la constante $a,$ il est vi-