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ordre

${\begin{aligned}z=&x{\frac {dz}{dx}}+y{\frac {dz}{dy}}-{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}-xy{\frac {d^{2}z}{dxdy}}-{\frac {y^{2}}{2}}{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}\\&+f\left({\frac {dz}{dx}}-x{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}-y{\frac {d^{2}z}{dxdy}},\ {\frac {dz}{dy}}-y{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}-x{\frac {d^{2}z}{dxdy}}\right).\end{aligned}}$

De là on pourra donc trouver, si l’on veut, l’intégrale générale du premier ordre de cette même équation (66).

Car en faisant varier $a$ et $b,$ et supposant

$b=\varphi (a),\quad db=\varphi '(a)da,$

on aura l’équation

$x+2{\frac {df(a,b)}{da}}+\left[y+2{\frac {df(a,b)}{db}}\right]\varphi '(a)=0,$

par laquelle on éliminera $a$ dans l’intégrale complète après avoir mis partout $\varphi (a)$ à la place de $b\,;$ la résultante sera l’intégrale générale cherchée.

Dans cet Exemple nous avons pu éliminer à la fois les trois arbitraires $c,g,h,$ ce qui nous a donné une intégrale complète du premier ordre ; mais pour avoir une autre intégrale complète il faudrait pouvoir éliminer à la fois trois autres des cinq arbitraires $a,b,c,g,h,$ ce qui n’est guère possible, comme on peut s’en assurer aisément par le calcul.

Au reste on voit aussi par l’Exemple précédent que, si la quantité était une fonction qui contînt les arbitraires $c,g,h,$ il ne serait plus possible de parvenir à une intégrale complète du premier ordre, par l’élimination simultanée de trois arbitraires.

69. Soit maintenant l’équation

${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {2y}{x}}{\frac {d^{2}z}{dxdy}}+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}=0,$

dont l’intégrale complète est

$z=a+bx+cy+g{\frac {y}{x}}+h{\frac {y^{2}}{x}},$