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la résultante fût telle, que les trois arbitraires restantes pussent être éliminées à la fois par une nouvelle différentiation simple ; or c’est ce qui est impossible, en général, et ne peut guère avoir lieu que dans des cas particuliers.

À plus forte raison sera-t-il impossible de déduire, en général, d’tune intégrale complète du troisième ordre une intégrale complète du second ou du premier, et ainsi du reste.

Nous allons rendre tout cela sensible par quelques Exemples.

68. Soit prise d’abord l’équation du n^o 58 ci-dessus, dont l’intégrale complète finie est

$z=k+ax+by+cx^{2}+gxy+hy^{2},$

$k$ étant $=f(a,b,c,g,h).$

Une différentiation simple donne les deux équations

${\frac {dz}{dx}}=a+2cx+gy,\quad {\frac {dz}{dy}}=b+gx+2hy\,;$

il faut donc voir si en combinant ces deux équations avec la précédente on peut chasser à la fois trois des cinq arbitraires $a,b,c,g,h.$ Je fais d’abord cette combinaison

$x{\frac {dz}{dx}}+y{\frac {dz}{dy}}=ax+by+2\left(cx^{2}+gxy+hy^{2}\right),$

et je remarque que si je retranche cette équation de celle ci-dessus multipliée par $2,$ j’en aurai une du premier ordre qui ne contiendra plus que les deux arbitraires $a$ et $b,$ pourvu qu’on suppose que $k$ soit une fonction de $a$ et $b$ seulement.

J’aurai donc dans ce cas l’équation

$2z-x{\frac {dz}{dx}}-y{\frac {dz}{dy}}=2f(a,b)+ax+by,$

qui sera l’intégrale complète du premier ordre de l’équation du second