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et intégrant relativement à $y$ seul, on aura

$(n-m)z=^{\text{‵}}\!\Phi (x+ny)-^{\text{‵}}\!\Psi (x+my)+\mathrm {X} ,$

$\mathrm {X}$ étant une fonction quelconque de $x\,;$ or, comme ces deux valeurs de $z$ doivent être identiques, il faudra que

$\mathrm {X=Y} ,$

ce qui ne peut avoir lieu, à moins que les deux quantités $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ ne soient constantes ; mais, comme les caractéristiques $^{\text{‵}}\Phi ,^{\text{‵}}\!\Psi$ expriment des fonctions quelconques, il serait superflu d’ajouter à ces fonctions une constante quelconque. Ainsi l’intégrale générale finie de la proposée sera

$(n-m)z=^{\text{‵}}\!\Phi (x+ny)-^{\text{‵}}\!\Psi (x+my).$

Cette méthode est générale, et l’on pourra toujours par son moyen trouver l’intégrale générale finie de toute équation à différences partielles du second ordre, dont on connaîtra deux intégrales complètes du premier ordre.

67. On pourrait croire qu’il suffit de connaître l’intégrale complète finie d’une équation à différences partielles du second ordre pour pouvoir trouver deux intégrales complètes du premier ordre de la même équation, comme cela a lieu pour les équations différentielles à deux variables (32) ; mais il n’en est pas ainsi des équations à différences partielles. En effet, dans ces sortes d’équations, lorsqu’il n’y a que trois variables, toute différentiation simple fournit deux équations, mais une différentiation double en fournit cinq, et une différentiation triple en fournira neuf, et ainsi de suite. De là vient que toute intégrale complète simple ou du premier ordre doit contenir deux constantes arbitraires, toute intégrale double ou du second ordre doit contenir cinq arbitraires, et ainsi du reste. Ainsi, pour pouvoir déduire une intégrale complète du premier ordre d’une intégrale complète du second, il faudrait pouvoir éliminer, par une simple différentiation de celle-ci, trois constantes vphitraires à la fois ; ou bien, si l’on n’en élimine que deux, il faudrait que