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même l’équation

$dc-db{\sqrt {m}}+\left(x-y{\sqrt {m}}\right)\left(dg-2dh{\sqrt {m}}\right)=0,$

laquelle, en faisant

$c-b{\sqrt {m}}=\psi \left(g-2h{\sqrt {m}}\right),$

donnera

$\psi '\left(g-2h{\sqrt {m}}\right)+x-y{\sqrt {m}}=0\,;$

moyennant quoi on connaîtra séparément $g$ et $h$ en $x$ et $y.$

Soit, pour plus de simplicité,

$x+y{\sqrt {m}}=t,\quad x-y{\sqrt {m}}=u,$

et soient $\mathrm {T,U}$ deux fonctions de $t$ et de $u\,;$ il est clair qu’on aura

$g+2h{\sqrt {m}}=\mathrm {T} ,\quad g-2h{\sqrt {m}}=\mathrm {U} \,;$

donc

$dc+db{\sqrt {m}}+td\mathrm {T} =0,\quad dc-db{\sqrt {m}}+ud\mathrm {U} =0,$

par conséquent

$c+b{\sqrt {m}}=-\int td\mathrm {T} ,\quad c-b{\sqrt {m}}=-\int ud\mathrm {U} .$

On aura donc ainsi

${\begin{alignedat}{2}c=&-{\frac {\int td\mathrm {T} +\int ud\mathrm {U} }{2}},\qquad &b=&-{\frac {\int td\mathrm {T} +\int ud\mathrm {U} }{2{\sqrt {m}}}},\\g=&{\frac {\mathrm {T+U} }{2}},&h=&{\frac {\mathrm {T-U} }{4{\sqrt {m}}}},\end{alignedat}}$

et, substituant ces valeurs dans la première des trois équations de condition, on aura, après les réductions,

$da-{\frac {t^{2}d\mathrm {T} -u^{2}d\mathrm {U} }{4{\sqrt {m}}}}=0,$