avoir la propriété en question ; et si l’on différentie cette équation, qu’ensuite on suppose égal à zéro chacun des coefficients des trois différences on aura trois équations, qui étant combinées avec l’équation proposée donneront, par l’élimination des quantités le même résultat que l’on aura par la méthode du no 62.
65. Après avoir vu comment on peut déduire les intégrales particulières des intégrales complètes, voyons comment on peut en déduire aussi les intégrales générales. Et d’abord il est facile de prouver d’après les principes exposés ci-dessus (57) que pour que l’équation qu’on suppose être l’intégrale complète finie de l’équation du second ordre satisfasse à cette même équation, en y regardant les cinq arbitraires comme variables, il suffira que ces quantités soient telles, qu’elles satisfassent aux trois équations différentielles qu’on aura en égalant à zéro les différences des quantités dans lesquelles on n’aura fait varier que les quantités
Or, comme de cette manière on n’a que trois équations pour la détermination des cinq variables il est clair qu’il y en aura deux à volonté qu’on pourra supposer être des fonctions quelconques indéterminées des trois autres ; il s’agira seulement de faire en sorte qu’on puisse déterminer ensuite les valeurs des cinq variables dont il s’agit d’une manière finie, en fonctions de alors il n’y aura plus qu’à substituer ces valeurs dans l’équation et l’on aura l’intégrale générale de la proposée du second ordre, laquelle intégrale contiendra deux fonctions indéterminées.
Nous avons vu ci-dessus (57) que l’équation du second ordre
a pour intégrale finie complète
