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L’équation

$x^{2}+y^{2}-b^{2}=0$

sera donc une intégrale particulière de l’équation différentielle

$xdx+ydy=dy{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}\,;$

on trouvera de même que l’équation

$x^{2}+y^{2}-b^{2}=0$

est l’intégrale particulière de l’équation différentielle

$ydx-xdy=b{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}},$

dont l’intégrale complète est

$y-ax-b{\sqrt {1+a^{2}}},$

$a$ étant la constante arbitraire. Il en est de même d’une infinité d’autres équations différentielles qui admettent des intégrales particulières, lesquelles ne sauraient être comprises dans les intégrales complètes de ces équations.

2. Après nous être assurés à posteriori de l’existence des intégrales particulières, cherchons, maintenant à priori, et d’après les seuls principes du Calcul intégral, quelle est l’origine de ces sortes d’intégrales.

Pour considérer les choses d’une manière générale, soit

$\mathrm {Z} =0$

une équation différentielle quelconque, $\mathrm {Z}$ étant une fonction de $x,y$ et de ${\frac {dy}{dx}}\,;$ supposons que l’intégrale complète de cette équation soit

$\mathrm {V} =0,$

$\mathrm {V}$ étant une fonction de $x,y$ et d’une constante arbitraire $a$ qui n’entre point dans la fonction $\mathrm {Z} ,$ et voyons comment cette équation $\mathrm {V} =0$ satisfait à l’équation différentielle $\mathrm {Z} =0.$