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la troisième multipliée par $\sin(q+\alpha -m),$ on aura

${\begin{aligned}\cos &(q+\alpha -m)dy+\sin(q+\alpha -m)dx\\&={\frac {\mathrm {K} \sin(q+\alpha -m+\varphi )d\varphi }{{\sqrt {p}}{\sqrt {\cos(q+\alpha -m)-\cos(q+\alpha -m+\varphi )}}}},\end{aligned}}$

équation qui est absolument intégrale et dont l’intégrale, prise en sorte que $x$ et $y$ s’évanouissent lorsque $\varphi =0,$ est celle-ci

${\begin{aligned}y&\cos(q+\alpha -m)+x\sin(q+\alpha -m)\\&=2{\frac {\mathrm {K} {\sqrt {\cos(q+\alpha -m)-\cos(q+\alpha -m+\varphi )}}}{\sqrt {p}}}\end{aligned}}$^[1].

Ainsi il faudra combiner cette équation avec ces deux-ci

${\begin{aligned}&s={\frac {\mathrm {K} }{\sqrt {p}}}\int {\frac {d\varphi }{\sqrt {\cos(q+\alpha -m)-\cos(q+\alpha -m+\varphi )}}},\\&x\sin(q+\alpha -m)-y\cos(q+\alpha -m)\\&\quad ={\frac {\mathrm {K} }{\sqrt {p}}}\int {\frac {\cos(q+\alpha -m+\varphi )d\varphi }{\sqrt {\cos(q+\alpha -m)-\cos(q+\alpha -m+\varphi )}}}.\end{aligned}}$

Soit, pour abréger, $q+\alpha -m=n,$ et supposons que les intégrales

$\int {\frac {d\varphi }{\sqrt {\cos n-\cos(n+\varphi )}}}\quad {\text{et}}\quad \int {\frac {\cos(n+\varphi )d\varphi }{\sqrt {\cos n-\cos(n+\varphi )}}},$

prises en sorte qu’elles soient nulles lorsque $\varphi =0,$ deviennent $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ lorsque $\varphi =m,$ et l’on aura, en faisant $x=a,\ y=b,\ s=l$ et $\varphi =m,$ ces trois équations

${\begin{aligned}&{\frac {\sqrt {p}}{2\mathrm {K} }}\left[b\cos(q+\alpha -m)+a\sin(q+\alpha -m)\right]={\sqrt {\cos(q+\alpha -m)-\cos(q+\alpha )}}\\\\&{\frac {l{\sqrt {p}}}{\mathrm {K} }}=\mathrm {A} ,\\\\&{\frac {\sqrt {p}}{\mathrm {K} }}\left[a\cos(q+\alpha -m)-b\sin(q+\alpha -m)\right]=\mathrm {B} ,\end{aligned}}$

1. Dans le texte primitif, le facteur $2$ se trouve placé au dénominateur de cette formule ; l’inadvertance commise ici par l’illustre Auteur a pour effet d’altérer les résultats qui suivent. Nous avons cru devoir faire les rectifications nécessaires pour l’exactitude des formules.
   (Note de l’Éditeur.)