soit le balancier dont
soit le centre, il n’y aura qu’à fixer une lame élastique d’une longueur quelconque
d’un côté à un point fixe
et de l’autre au point
de la circonférence du balancier, et l’on sera assuré que ses vibrations seront isochrones, au moins tant qu’elles seront très-petites, ce que personne, que je sache, n’avait encore démontré en toute rigueur. (Voyez le XXXVIe Mémoire des Opuscules de M. d’Alembert.)
§ VIII.
Nous avons supposé jusqu’ici que la courbure du ressort devait être très-petite ; voyons maintenant comment on peut résoudre le Problème, en général, quelle que puisse être la figure de la lame élastique. Or, comme les équations trouvées dans le § II sont absolument inintégrables, il est impossible de déterminer les forces
et
en
et
ou bien les forces
et
en
et
(§ IV) par des équations finies ; mais peut-être pourrait-on les déterminer par des équations différentielles qui donneraient les variations de
et de
répondantes à celles de
et
c’est ce qu’il est bon d’examiner.
Reprenons donc les trois équations du § II, et, mettant d’abord à la place de
et
les valeurs trouvées dans le § IV, elles se changeront en celles-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}ds=&{\frac {\mathrm {K} d\varphi }{{\sqrt {p}}{\sqrt {\cos(q+\alpha -m)-\cos(q+\alpha -m+\varphi )}}}},\\dy=&{\frac {\mathrm {K} \sin \varphi d\varphi }{{\sqrt {p}}{\sqrt {\cos(q+\alpha -m)-\cos(q+\alpha -m+\varphi )}}}},\\dx=&{\frac {\mathrm {K} \cos \varphi d\varphi }{{\sqrt {p}}{\sqrt {\cos(q+\alpha -m)-\cos(q+\alpha -m+\varphi )}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b3350a56f2c28344d82643486e3a44dd99e93f6)
La seconde de ces équations étant multipliée par
et ensuite retranchée de la troisième multipliée par
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos &(q+\alpha -m)dx-\sin(q+\alpha -m)dy\\&={\frac {\mathrm {K} \cos(q+\alpha -m+\varphi )d\varphi }{{\sqrt {p}}{\sqrt {\cos(q+\alpha -m)-\cos(q+\alpha -m+\varphi )}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7295c3f4c09ef1cb2dd84a2047552c86c9acc41b)
De même, en multipliant la seconde par
et l’ajoutant à