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§ III.

Supposons $\mathrm {Q} =0,$ en sorte que la lame $\mathrm {AC}$ ne soit tirée au point $\mathrm {A}$ que par la force $\mathrm {P} ,$ suivant la direction de la tangente $\mathrm {AP} \,;$ on aura, dans ce cas.

${\begin{aligned}ds=&\mathrm {\frac {K}{\sqrt {P}}} {\frac {d\varphi }{\sqrt {1-\cos \varphi }}}\\dy=&\mathrm {\frac {K}{\sqrt {P}}} {\frac {\sin \varphi d\varphi }{\sqrt {1-\cos \varphi }}}\\dx=&\mathrm {\frac {K}{\sqrt {P}}} {\frac {\cos \varphi d\varphi }{\sqrt {1-\cos \varphi }}}.\end{aligned}}$

Faisons, pour plus de simplicité, $\mathrm {\frac {K{\sqrt {2}}}{\sqrt {P}}} =f,$ et mettons $2z$ à la place de $\varphi \,;$ on aura, à cause de $\cos 2z=1-2\sin ^{2}z,$ $\sin 2z=2\sin z\cos z,$ on aura, dis-je,

${\begin{aligned}ds=&{\frac {fdz}{\sin z}},\\dy=&2f\cos zdz,\\dx=&{\frac {fdz}{\sin z}}-2f\sin zdz,\end{aligned}}$

d’où l’on tire par l’intégration

${\begin{aligned}s=&f\log {\sqrt {\frac {1-\cos z}{1+\cos z}}}+\mathrm {A} ,\\y=&2f\sin z+\mathrm {B} ,\\x=&s+2f\cos z+\mathrm {C} ,\end{aligned}}$

$\mathrm {A,B,C}$ étant des constantes qui doivent être déterminées en sorte que $s,x$ et $y$ soient nuls lorsque $z=0\,;$ ce qui donnera $\mathrm {B=0,\ C} =-2f$ et $\mathrm {A} =-f\log 0,$ c’est-à-dire $\mathrm {A} =\infty .$

D’où l’on voit que ce cas ne saurait avoir lieu à moins que l’angle $z$ ne soit infiniment petit, pour que l’arc $s$ puisse être fini ; de sorte que la courbure de la lame sera infiniment petite.