où l’on remarquera qu’en faisant
on aura
![{\displaystyle \int \sin \varphi ds=0,\quad \int \cos \varphi ds=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e59ae3926ed9229b42e3e058f3c7f75df463b61)
et par conséquent aussi
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{ds}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fce6233f68c6b94b273d35249c952dc2cdb515dc)
Différentions maintenant cette équation en prenant
constant, et l’on aura celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {P} \sin \varphi +\mathrm {Q} \cos \varphi ={\frac {2\mathrm {K} ^{2}d^{2}\varphi }{ds^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ddcb73e8c71859e74d67a81015b0de64cd30e2)
laquelle, étant multipliée par
et ensuite intégrée, donnera
![{\displaystyle \mathrm {C} -\mathrm {P} \cos \varphi +\mathrm {Q} \sin \varphi ={\frac {\mathrm {K} ^{2}d\varphi ^{2}}{ds^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d853505f0e252f46631855bca55db3d7952ab98)
étant une constante arbitraire qu’on déterminera par la condition qu’en faisant
on ait
c’est pourquoi on aura
![{\displaystyle \mathrm {C=P} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c23b3843f8a572b479817c689d4de0c52ddbce58)
On aura donc
![{\displaystyle ds={\frac {\mathrm {K} d\varphi }{\mathrm {\sqrt {P-P\cos \varphi +Q\sin \varphi }} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c2e56225e105cc5408fbebe02f57d4ef2365659)
et de là
![{\displaystyle {\begin{aligned}dy=&{\frac {\mathrm {K} \sin \varphi d\varphi }{\mathrm {\sqrt {P-P\cos \varphi +Q\sin \varphi }} }},\\dx=&{\frac {\mathrm {K} \cos \varphi d\varphi }{\mathrm {\sqrt {P-P\cos \varphi +Q\sin \varphi }} }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e1e54f01143f0504a4f63ff27ea2239a80dc64)
Maintenant, si l’on pouvait intégrer ces trois équations, il est évident qu’en faisant, après l’intégration,
et
on aurait trois équations par lesquelles on pourrait déterminer les forces
et l’amplitude
les quantités
et
étant données, et le Problème serait résolu ; mais il est aisé de voir que l’intégration dont il s’agit dépend en général de la rectification des sections coniques, et qu’ainsi elle échappe à toutes les méthodes connues.
Il y a cependant un cas où l’intégration réussit, c’est celui où
nous allons l’examiner dans le paragraphe suivant.