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la tangente en $\mathrm {B}$ fait avec la tangente $\mathrm {AN} ,$ c’est-à-dire l’amplitude de l’arc $\mathrm {AB} ,$ égal à $\varphi ,$ l’abscisse $\mathrm {AN}$ égale à $a,$ l’ordonnée $\mathrm {CN}$ égale à $b,$

Fig. 2.

lame d’acier courbée vers le haut

l’arc $\mathrm {AC} ,$ c’est-à-dire la longueur de la lame, égal à $l,$ et l’angle que la tangente en $\mathrm {C}$ fait avec $\mathrm {AN} ,$ c’est-à-dire l’amplitude totale de l’arc $\mathrm {AC} ,$ égal à $m\,;$ on. aura

$dy=\sin \varphi ds,\quad dx=\cos \varphi ds,\quad {\frac {ds}{\rho }}=d\varphi \,;$

par conséquent

$\rho ={\frac {s}{\varphi }},\quad y=\int \sin \varphi ds,\quad x=\int \cos \varphi ds,$

ces intégrales étant prises de manière qu’elles soient nulles lorsque $\varphi =0.$

Cela posé, on peut réduire, en général, toutes les forces qui agissent au point $\mathrm {A}$ à deux forces uniques dont l’une, que j’appellerai $\mathrm {P} ,$ agisse suivant la direction $\mathrm {AP} ,$ et l’autre, que j’appellerai $\mathrm {Q} ,$ agisse suivant $\mathrm {AQ}$ perpendiculaire à $\mathrm {AP} \,;$ or, il est clair que la force $\mathrm {P}$ donne, par rapport au point $\mathrm {B} ,$ le moment $\mathrm {P} y,$ et que la force $\mathrm {Q}$ donne, par rapport au même point, le moment $\mathrm {Q} x\,;$ donc on aura, par la nature de la courbe élastique (paragraphe précédent), l’équation

$\mathrm {P} y+\mathrm {Q} x={\frac {2\mathrm {K} ^{2}}{\rho }},$

$2\mathrm {K} ^{2}$ étant un coefficient constant qui dépend de l’élasticité absolue de la lame.

Substituons dans cette équation à la place de $x,y$ et $\rho$ leurs valeurs en $\varphi ,$ nous aurons

$\mathrm {P} \int \sin \varphi ds+\mathrm {Q} \int \cos \varphi ds={\frac {2\mathrm {K} ^{2}d\varphi }{ds}},$