Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/82

donc

$\mathrm {F} =a\mathrm {P} ,\quad \mathrm {F} '=a'\mathrm {P} ,\quad \mathrm {F} ''=a''\mathrm {P} ,\ldots ,$

c’est-à-dire que les forces des ressorts qui agissent à chacun des angles du polygone $\mathrm {ABCD} \ldots$ doivent être proportionnelles aux moments du poids tendant par rapport à chacun de ces angles.

S’il y avait plusieurs puissances tendantes, alors on démontrerait par un raisonnement semblable que le ressort à chaque angle du polygone devrait être proportionnel à la somme des moments de toutes les puissances. Supposons maintenant que les verges qui forment le polygone élastique deviennent infiniment petites et que leur nombre augmente à l’infini, il est clair que le polygone se changera en une courbe continue, et que l’on aura le cas d’une lame élastique pliée, dans laquelle il faudra par conséquent que l’action du ressort à chaque point soit proportionnelle à la somme des moments des forces tendantes par rapport à ce point, comme on l’a toujours supposé.

À l’égard de l’action du ressort, c’est-à-dire de la force avec laquelle il tend à se débander, on convient généralement qu’elle est en raison de l’angle de courbure, c’est-à-dire en raison inverse du rayon osculateur ; ainsi il faudra que la somme des moments des forces tendantes par rapport à chaque point de la courbe élastique soit réciproquement proportionnelle au rayon osculateur lorsque l’élasticité absolue est partout la même, et lorsque l’élasticité est variable, il faudra que la somme des moments dont il s’agit soit en raison directe de l’élasticité absolue et en raison inverse du rayon osculateur.

§ II.

Soit donc $\mathrm {ABC}$ (fig. 2) une lame élastique fixée par une de ses extrémités $\mathrm {C} ,$ et courbée par des puissances quelconques qui agissent sur l’autre extrémité $\mathrm {A} .$ Ayant tiré par ce point $\mathrm {A}$ la tangente $\mathrm {PAN} ,$ et par un point quelconque $\mathrm {B}$ de la courbe l’ordonnée $\mathrm {BM} ,$ perpendiculaire à la droite $\mathrm {AN} ,$ que nous prendrons pour l’axe des abscisses, on fera $\mathrm {AM} =x,$ $\mathrm {MB} =y,$ l’arc $\mathrm {AB}$ égal à $s,$ le rayon de courbure en $\mathrm {B}$ égal à $\rho ,$ l’angle que