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à l’égard des nombres premiers de la forme $8n+3$ on a prouvé qu’ils sont toujours la somme d’un carré et du double d’un carré (45) ; et quant à ceux de la forme $8n-1,$ M. Fermat assure que le double de chacun de ces nombres est toujours aussi la somme d’un carré et du double d’un carré (voyez la Lettre à M. Digby citée ci-dessus, n^o 36) ; mais ce dernier Théorème est du nombre de ceux qui restent encore à démontrer. On peut observer que la forme $8n-1$ se réduit à ces trois-ci $24n-1,\ 24n+7,\ 24n+15,$ dont il n’y a que les deux premières qui puissent convenir à des nombres premiers ; or il est déjà démontré (45) que tout nombre premier de la forme $24n+7$ est de la forme $y^{2}+6z^{2}\,;$ donc le double d’un nombre premier de la même forme sera de la forme

$2y^{2}+12z^{2}=(y+2z)^{2}+(y-2z)^{2}+(2z)^{2},$

c’est-à-dire la somme de trois carrés. Ainsi le Théorème dont il s’agit est démontré pour tous les nombres premiers de la forme $8n-1$ lorsque $n$ n’est pas un multiple de $3\,;$ et il ne reste plus qu’à le démontrer pour les nombres de la forme $24n-1\,;$ mais je ne vois pas, quant à présent, comment on y pourrait parvenir.

J’ajouterai, en finissant, que j’ai remarqué que tout nombre premier de la forme $4n-1$ est la somme d’un nombre premier de la forme $4n+1$ et du double d’un nombre premier de la même forme ; ainsi

${\begin{array}{lll}\,\ 3=1+2.1,\qquad 7=5+2.1,&11=1+2.5,&19=17+2,\\23=13+2.5=1+2.11,&31=29+2,&43=41+2,\\47=37+2.5=1+2.23,\ldots \,;\end{array}}$

mais ce n’est que par induction que j’ai trouvé ce Théorème.

fin du tome troisième.