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$8n+1,$ et que nous avons déjà vu que les nombres premiers de cette dernière forme sont toujours diviseurs de quelques nombres de la forme $t^{2}-2u^{2}\,;$ il s’ensuit du Lemme VI qu’en faisant $a=2.5,$ les nombres premiers de la forme $4na+9,$ c’est-à-dire $40n+9,$ seront toujours diviseurs de quelques nombres de la forme $u^{2}-at^{2},$ c’est-à-dire de $u^{2}-10t^{2}.$ Donc

13^o Tout nombre premier de la forme $40n+9$ est en même temps de ces trois formes $y^{2}+10z^{2},\ y^{2}-10z^{2}$ et $10z^{2}-y^{2}.$

49. Scolie I. — Au reste, si l’on combine les Théorèmes que nous avons démontrés jusqu’ici avec le Lemme III, on en pourra déduire un grand nombre d’autres Théorèmes d’Arithmétique qui seraient peut-être bien difficiles à démontrer directement.

Ainsi, si $p$ est un nombre premier d’une de ces formes $8n\pm 1,$ $2^{\frac {p-1}{2}}-1$ sera divisible par $p,$ et si $p$ est de la forme $8n\pm 3,$ $2^{\frac {p-1}{2}}+1$ sera alors divisible par $p.$

De même, si $p$ est de la forme $12n\pm 1,$ $3^{\frac {p-1}{2}}-1$ sera divisible par $p,$ et si $p$ est de la forme $12n\pm 5,$ $3^{\frac {p-1}{2}}+1$ sera alors divisible par $p.$

Si $p$ est d’une de ces formes $20n\pm 1,\ 20n\pm 9,$ $5^{\frac {p-1}{2}}-1$ sera divisible par $p\,;$ et si $p$ est d’une de ces formes $20n\pm 3,\ 20n\pm 7,$ alors $5^{\frac {p-1}{2}}+1$ sera divisible par $p.$ Et ainsi de suite.

50. Scolie II. — Les nombres premiers de la forme $4n+1$ sont toujours la somme de deux carrés (48) ; mais les nombres premiers de la forme $4n-1$ ne pouvant jamais être la somme de deux carrés, seront nécessairement là somme de trois ou de quatre carrés, puisqu’il est démontré que tout nombre entier est ou carré ou la somme de deux ou trois ou quatre carrés [voyez les Mémoires pour 1770^[1]]. Or je remarque que la forme $4n-1$ se réduit à ces deux-ci $8n-1$ et $8n+3\,;$

1. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 189.